Cálculo Ejemplos

$\sum_{n = 1}^{\infty} 3 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica infinita se puede obtener mediante la fórmula $\frac{a}{1 - r}$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{n}$ y $a_{n + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{3 {(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}}{3 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$r = \frac{3 {(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}}{3 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de ${(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}$ y ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ de ${(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Paso 2.2.2.2.4

Divide ${(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$ por $1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Paso 2.2.3

Suma $n$ y $0$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - (n - 1)}$

Paso 2.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - n - - 1}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - n + 1}$

Paso 2.2.5

Resta $n$ de $n$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{0 + 1}$

Paso 2.2.6

Suma $0$ y $1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{1}$

Paso 2.2.7

Simplifica.

$r = \frac{1}{4}$

Paso 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Paso 4

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 4.1

Sustituye $1$ por $n$ en $3 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ .

$a = 3 {(\frac{1}{4})}^{1 - 1}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$a = 3 {(\frac{1}{4})}^{0}$

Paso 4.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$a = 3 \frac{1^{0}}{4^{0}}$

Paso 4.2.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 3 \frac{1}{4^{0}}$

Paso 4.2.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 3 (\frac{1}{1})$

Paso 4.2.5

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 4.2.5.1

Cancela el factor común.

$a = 3 (\frac{1}{1})$

Paso 4.2.5.2

Reescribe la expresión.

$a = 3 \cdot 1$

Paso 4.2.6

Multiplica $3$ por $1$ .

$a = 3$

Paso 5

Sustituye los valores de la razón y el primer término en la fórmula de suma.

$\frac{3}{1 - \frac{1}{4}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{3}{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Paso 6.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{\frac{4 - 1}{4}}$

Paso 6.1.3

Resta $1$ de $4$ .

$\frac{3}{\frac{3}{4}}$

Paso 6.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$3 (\frac{4}{3})$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.1

Cancela el factor común.

$3 (\frac{4}{3})$

Paso 6.3.2

Reescribe la expresión.

$4$