Cálculo Ejemplos

$\int 4 x \ln (2 x) d x$

Paso 1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int x \ln (2 x) d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (2 x)$ y $d v = x$ .

$4 (\ln (2 x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$4 (\ln (2 x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Paso 3.2

Combina $\ln (2 x)$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$4 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$4 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Paso 3.4

Multiplica $\frac{x^{2}}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$4 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$4 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Paso 3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$4 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Paso 3.5.2.2

Cancela el factor común.

$4 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Paso 3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$4 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$4 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

Paso 6.2

Reescribe $4 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$ como $4 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$ .

$4 (\frac{\ln (2 x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$4 (\frac{1}{2} \ln (2 x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + C$