Cálculo Ejemplos

$\int 6 e^{6 x} \sin (e^{6 x}) d x$

Paso 1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int e^{6 x} \sin (e^{6 x}) d x$

Paso 2

Sea $u_{1} = 6 x$ . Entonces $d u_{1} = 6 d x$ , de modo que $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = 6 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 2.1.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$6$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$6 \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) \frac{1}{6} d u_{1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $e^{u_{1}}$ .

$6 \int \frac{e^{u_{1}}}{6} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 3.2

Combina $\frac{e^{u_{1}}}{6}$ y $\sin (e^{u_{1}})$ .

$6 \int \frac{e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}})}{6} d u_{1}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$6 (\frac{1}{6} \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $6$ .

$\frac{6}{6} \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{6}{6} \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 5.3

Multiplica $\int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$ por $1$ .

$\int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Paso 6

Sea $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Entonces $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Paso 6.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}}$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Paso 7

La integral de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \cos (u_{2})$ .

$- \cos (u_{2}) + C$

Paso 8

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 8.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{u_{1}}$ .

$- \cos (e^{u_{1}}) + C$

Paso 8.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $6 x$ .

$- \cos (e^{6 x}) + C$