Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{8} \sqrt{64 - x^{2}} d x$

Paso 1

Sea $x = 8 \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 8 \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $8 \cos (t)$ es positiva.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 - {(8 \sin (t))}^{2}} (8 \cos (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{64 - {(8 \sin (t))}^{2}}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $8 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 - (8^{2} \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 - (64 \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.1.3

Multiplica $64$ por $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 - 64 \sin^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $64$ de $64$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1) - 64 \sin^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $64$ de $- 64 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1) + 64 (- \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $64$ de $64 (1) + 64 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1 - \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 \cos^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.6

Reescribe $64 \cos^{2} (t)$ como ${(8 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(8 \cos (t))}^{2}} (8 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 8 \cos (t) (8 \cos (t)) d t$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Multiplica $8$ por $8$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 64 \cos (t) \cos (t) d t$

Paso 2.2.2

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 64 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Paso 2.2.3

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 64 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Paso 2.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 64 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Paso 2.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 64 \cos^{2} (t) d t$

Paso 3

Dado que $64$ es constante con respecto a $t$ , mueve $64$ fuera de la integral.

$64 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Paso 4

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$64 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$64 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $64$ .

$\frac{64}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $64$ y $2$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $2$ de $64$ .

$\frac{2 \cdot 32}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 6.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{32}{1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 6.2.2.4

Divide $32$ por $1$ .

$32 \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$32 (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$32 (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Paso 9

Sea $u = 2 t$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 9.1

Deja $u = 2 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 9.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 9.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 9.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 9.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 9.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 9.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.5.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 9.5.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = π$

Paso 9.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Paso 9.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$32 (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 10

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$32 (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$32 (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u)$

Paso 12

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$32 (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Paso 13

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (u)]_{0}^{π}$ .

$32 (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u)]_{0}^{π}}{2})$

Paso 14

Sustituye y simplifica.

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Paso 14.1

Evalúa $t$ en $\frac{π}{2}$ y en $0$ .

$32 ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{\sin (u)]_{0}^{π}}{2})$

Paso 14.2

Evalúa $\sin (u)$ en $π$ y en $0$ .

$32 ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{(\sin (π)) - \sin (0)}{2})$

Paso 14.3

Suma $\frac{π}{2}$ y $0$ .

$32 (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - \sin (0)}{2})$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$32 (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) - 0}{2})$

Paso 15.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$32 (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π) + 0}{2})$

Paso 15.3

Suma $\sin (π)$ y $0$ .

$32 (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2})$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$32 \frac{π + \sin (π)}{2}$

Paso 16.2

Simplifica cada término.

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Paso 16.2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$32 \frac{π + \sin (0)}{2}$

Paso 16.2.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$32 \frac{π + 0}{2}$

Paso 16.3

Suma $π$ y $0$ .

$32 \frac{π}{2}$

Paso 16.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 16.4.1

Factoriza $2$ de $32$ .

$2 (16) \frac{π}{2}$

Paso 16.4.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 16 \frac{π}{2}$

Paso 16.4.3

Reescribe la expresión.

$16 π$

Paso 17

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$16 π$

Forma decimal:

$50.26548245 \dots$

Paso 18