Cálculo Ejemplos

$y = {(2 x + 1)}^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{2})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Reescribe ${(2 x + 1)}^{2}$ como $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x + 1)]$

Paso 3.2

Expande $(2 x + 1) (2 x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)]$

Paso 3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)]$

Paso 3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Paso 3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $2 x$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1]$

Paso 3.3.1.6

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1]$

Paso 3.3.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4 x + 1]$

Paso 3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} + 4 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.5

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.7

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.8

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.10

Multiplica $4$ por $1$ .

$8 x + 4 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.11

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$8 x + 4 + 0$

Paso 3.12

Suma $8 x + 4$ y $0$ .

$8 x + 4$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 8 x + 4$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x + 4$