Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{5} \frac{5}{x^{3}} d x$

Paso 1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int_{1}^{5} \frac{1}{x^{3}} d x$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$5 \int_{1}^{5} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int_{1}^{5} x^{3 \cdot - 1} d x$

Paso 2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$5 \int_{1}^{5} x^{- 3} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$5 (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{5})$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica.

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Paso 4.1.1

Combina $x^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$5 (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{5})$

Paso 4.1.2

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{5})$

Paso 4.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.2.1

Evalúa $- \frac{1}{2 x^{2}}$ en $5$ y en $1$ .

$5 ((- \frac{1}{2 \cdot 5^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$5 (- \frac{1}{2 \cdot 25} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $2$ por $25$ .

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 4.2.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

Paso 4.2.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{1}{2})$

Paso 4.2.2.5

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{25}{25}$ .

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{25})$

Paso 4.2.2.6

Escribe cada expresión con un denominador común de $50$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.2.2.6.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{25}{25}$ .

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{25}{2 \cdot 25})$

Paso 4.2.2.6.2

Multiplica $2$ por $25$ .

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{25}{50})$

Paso 4.2.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 \frac{- 1 + 25}{50}$

Paso 4.2.2.8

Suma $- 1$ y $25$ .

$5 (\frac{24}{50})$

Paso 4.2.2.9

Cancela el factor común de $24$ y $50$ .

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Paso 4.2.2.9.1

Factoriza $2$ de $24$ .

$5 \frac{2 (12)}{50}$

Paso 4.2.2.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.9.2.1

Factoriza $2$ de $50$ .

$5 \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 25}$

Paso 4.2.2.9.2.2

Cancela el factor común.

$5 \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 25}$

Paso 4.2.2.9.2.3

Reescribe la expresión.

$5 (\frac{12}{25})$

Paso 4.2.2.10

Combina $5$ y $\frac{12}{25}$ .

$\frac{5 \cdot 12}{25}$

Paso 4.2.2.11

Multiplica $5$ por $12$ .

$\frac{60}{25}$

Paso 4.2.2.12

Cancela el factor común de $60$ y $25$ .

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Paso 4.2.2.12.1

Factoriza $5$ de $60$ .

$\frac{5 (12)}{25}$

Paso 4.2.2.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.12.2.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$\frac{5 \cdot 12}{5 \cdot 5}$

Paso 4.2.2.12.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot 12}{5 \cdot 5}$

Paso 4.2.2.12.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{12}{5}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{12}{5}$

Forma decimal:

$2.4$

Forma de número mixto:

$2 \frac{2}{5}$

Paso 6