Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{7} x \sqrt{6 x^{2} + 3} d x$

Paso 1

Sea $u = 6 x^{2} + 3$ . Entonces $d u = 12 x d x$ , de modo que $\frac{1}{12} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 6 x^{2} + 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $6 x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} + 3]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$12 x + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $12 x$ y $0$ .

$12 x$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 6 x^{2} + 3$ .

$u_{lower} = 6 \cdot 1^{2} + 3$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{lower} = 6 \cdot 1 + 3$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$u_{lower} = 6 + 3$

Paso 1.3.2

Suma $6$ y $3$ .

$u_{lower} = 9$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 6 x^{2} + 3$ .

$u_{upper} = 6 \cdot 7^{2} + 3$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = 6 \cdot 49 + 3$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $6$ por $49$ .

$u_{upper} = 294 + 3$

Paso 1.5.2

Suma $294$ y $3$ .

$u_{upper} = 297$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 297$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{9}^{297} \sqrt{u} \frac{1}{12} d u$

Paso 2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{12}$ .

$\int_{9}^{297} \frac{\sqrt{u}}{12} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{12}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{12}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{12} \int_{9}^{297} \sqrt{u} d u$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{12} \int_{9}^{297} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{12} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{297}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $297$ y en $9$ .

$\frac{1}{12} ((\frac{2}{3} \cdot 297^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $297^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Paso 6.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Paso 6.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

Paso 6.2.5

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27)$

Paso 6.2.6

Multiplica $27$ por $- 1$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - 27 (\frac{2}{3}))$

Paso 6.2.7

Combina $- 27$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3})$

Paso 6.2.8

Multiplica $- 27$ por $2$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 54}{3})$

Paso 6.2.9

Cancela el factor común de $- 54$ y $3$ .

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Paso 6.2.9.1

Factoriza $3$ de $- 54$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3})$

Paso 6.2.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.9.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)})$

Paso 6.2.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1})$

Paso 6.2.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 18}{1})$

Paso 6.2.9.2.4

Divide $- 18$ por $1$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - 18)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{12} \cdot - 18$

Paso 7.2

Combinar.

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{12} \cdot - 18$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 7.3.1

Factoriza $6$ de $12$ .

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{6 (2)} \cdot - 18$

Paso 7.3.2

Factoriza $6$ de $- 18$ .

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 3)$

Paso 7.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 3)$

Paso 7.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

Paso 7.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 3$ .

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{- 3}{2}$

Paso 7.5

Simplifica cada término.

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Paso 7.5.1

Factoriza $2$ de $1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{2 (1 \cdot (297^{\frac{3}{2}}))}{12 \cdot 3} + \frac{- 3}{2}$

Paso 7.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.5.2.1

Factoriza $2$ de $12 \cdot 3$ .

$\frac{2 (1 \cdot (297^{\frac{3}{2}}))}{2 (6 \cdot 3)} + \frac{- 3}{2}$

Paso 7.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (1 \cdot (297^{\frac{3}{2}}))}{2 (6 \cdot 3)} + \frac{- 3}{2}$

Paso 7.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 \cdot (297^{\frac{3}{2}})}{6 \cdot 3} + \frac{- 3}{2}$

Paso 7.5.3

Multiplica $297^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$\frac{297^{\frac{3}{2}}}{6 \cdot 3} + \frac{- 3}{2}$

Paso 7.5.4

Multiplica $6$ por $3$ .

$\frac{297^{\frac{3}{2}}}{18} + \frac{- 3}{2}$

Paso 7.5.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{297^{\frac{3}{2}}}{18} - \frac{3}{2}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{297^{\frac{3}{2}}}{18} - \frac{3}{2}$

Forma decimal:

$282.85585100 \dots$

Paso 9