Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{5} x \sqrt{2 x^{2} - 1} d x$

Paso 1

Sea $u = 2 x^{2} - 1$ . Entonces $d u = 4 x d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 2 x^{2} - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $4 x$ y $0$ .

$4 x$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x^{2} - 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 1^{2} - 1$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{lower} = 2 \cdot 1 - 1$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u_{lower} = 2 - 1$

Paso 1.3.2

Resta $1$ de $2$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x^{2} - 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 5^{2} - 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 25 - 1$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $2$ por $25$ .

$u_{upper} = 50 - 1$

Paso 1.5.2

Resta $1$ de $50$ .

$u_{upper} = 49$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 49$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{49} \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Paso 2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{49} \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{49} \sqrt{u} d u$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{49} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{49}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $49$ y en $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 49^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(7^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.4

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 343 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.5

Combina $\frac{2}{3}$ y $343$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 343}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.6

Multiplica $2$ por $343$ .

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Paso 6.2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3})$

Paso 6.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{686 - 2}{3}$

Paso 6.2.10

Resta $2$ de $686$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{684}{3}$

Paso 6.2.11

Cancela el factor común de $684$ y $3$ .

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Paso 6.2.11.1

Factoriza $3$ de $684$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3}$

Paso 6.2.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.11.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3 (1)}$

Paso 6.2.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3 \cdot 1}$

Paso 6.2.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{228}{1}$

Paso 6.2.11.2.4

Divide $228$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 228$

Paso 6.2.12

Combina $\frac{1}{4}$ y $228$ .

$\frac{228}{4}$

Paso 6.2.13

Cancela el factor común de $228$ y $4$ .

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Paso 6.2.13.1

Factoriza $4$ de $228$ .

$\frac{4 \cdot 57}{4}$

Paso 6.2.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.13.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot 57}{4 (1)}$

Paso 6.2.13.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 57}{4 \cdot 1}$

Paso 6.2.13.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{57}{1}$

Paso 6.2.13.2.4

Divide $57$ por $1$ .

$57$

Paso 7