Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{e} x^{2} - \frac{1}{x} d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{e} x^{2} d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1.1

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3}$ en $e$ y en $1$ .

$(\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Paso 5.1.2

Evalúa $\ln (| x |)$ en $e$ y en $1$ .

$\frac{1}{3} e^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Paso 5.1.3

Simplifica.

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Paso 5.1.3.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Paso 5.1.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Paso 5.1.3.4

Para escribir $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 5.1.3.5

Combina $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} + \frac{- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 5.1.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 5.1.3.7

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{e^{3} - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - 1}{3}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

$e$ es aproximadamente $2.71828182$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{e}{| 1 |}) - 1}{3}$

Paso 5.3.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{e}{1}) - 1}{3}$

Paso 5.3.3

Divide $e$ por $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 \ln (e) - 1}{3}$

Paso 5.3.4

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 \cdot 1 - 1}{3}$

Paso 5.3.5

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 - 1}{3}$

Paso 5.3.6

Resta $1$ de $- 3$ .

$\frac{e^{3} - 4}{3}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{e^{3} - 4}{3}$

Forma decimal:

$5.36184564 \dots$

Paso 7