Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{e} 4 x - \frac{11}{x} d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{e} 4 x d x + \int_{1}^{e} - \frac{11}{x} d x$

Paso 2

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} - \frac{11}{x} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{11}{x} d x$

Paso 4

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{11}{x} d x$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - \int_{1}^{e} \frac{11}{x} d x$

Paso 6

Dado que $11$ es constante con respecto a $x$ , mueve $11$ fuera de la integral.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - (11 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x)$

Paso 7

Multiplica $11$ por $- 1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 11 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 11 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $e$ y en $1$ .

$4 ((\frac{e^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - 11 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Paso 9.1.2

Evalúa $\ln (| x |)$ en $e$ y en $1$ .

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 11 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 11 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Paso 9.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Paso 9.3.2.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 2 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Paso 9.3.2.3

Reescribe la expresión.

$2 e^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Paso 9.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$2 e^{2} + 4 (\frac{- 1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Paso 9.3.3.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 e^{2} + 2 (2) \frac{- 1}{2} - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Paso 9.3.3.3

Cancela el factor común.

$2 e^{2} + 2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Paso 9.3.3.4

Reescribe la expresión.

$2 e^{2} + 2 \cdot - 1 - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Paso 9.3.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 e^{2} - 2 - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Paso 9.3.5

$e$ es aproximadamente $2.71828182$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$2 e^{2} - 2 - 11 \ln (\frac{e}{| 1 |})$

Paso 9.3.6

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 11 \ln (\frac{e}{1})$

Paso 9.3.7

Divide $e$ por $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 11 \ln (e)$

Paso 9.3.8

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 11 \cdot 1$

Paso 9.3.9

Multiplica $- 11$ por $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 11$

Paso 9.3.10

Resta $11$ de $- 2$ .

$2 e^{2} - 13$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 e^{2} - 13$

Forma decimal:

$1.77811219 \dots$

Paso 11