Cálculo Ejemplos

$\int_{2}^{x^{2}} \arctan (t) d t$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \arctan (t)$ y $d v = 1$ .

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{2}^{x^{2}} t \frac{1}{t^{2} + 1} d t$

Paso 2

Combina $t$ y $\frac{1}{t^{2} + 1}$ .

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{2}^{x^{2}} \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

Paso 3

Sea $u = t^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 t d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = t^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 3.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$2 t + 0$

Paso 3.1.5

Suma $2 t$ y $0$ .

$2 t$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = t^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 2^{2} + 1$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$u_{lower} = 4 + 1$

Paso 3.3.2

Suma $4$ y $1$ .

$u_{lower} = 5$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = t^{2} + 1$ .

$u_{upper} = {(x^{2})}^{2} + 1$

Paso 3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = x^{2 \cdot 2} + 1$

Paso 3.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$u_{upper} = x^{4} + 1$

Paso 3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = x^{4} + 1$

Paso 3.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{5}^{x^{4} + 1} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{5}^{x^{4} + 1} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{5}^{x^{4} + 1} \frac{1}{2 u} d u$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - (\frac{1}{2} \int_{5}^{x^{4} + 1} \frac{1}{u} d u)$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{5}^{x^{4} + 1}$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\arctan (t) t$ en $x^{2}$ y en $2$ .

$(\arctan (x^{2}) x^{2}) - \arctan (2) \cdot 2 - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{5}^{x^{4} + 1}$

Paso 7.2

Evalúa $\ln (| u |)$ en $x^{4} + 1$ y en $5$ .

$(\arctan (x^{2}) x^{2}) - \arctan (2) \cdot 2 - \frac{1}{2} ((\ln (| x^{4} + 1 |)) - \ln (| 5 |))$

Paso 7.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} - 2 \arctan (2) - \frac{1}{2} (\ln (| x^{4} + 1 |) - \ln (| 5 |))$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} - 2 \arctan (2) - \frac{1}{2} \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})$

Paso 8.2

Combina $\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} - 2 \arctan (2) - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2}$

Paso 8.3

Para escribir $\arctan (x^{2}) x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2} - 2 \arctan (2)$

Paso 8.4

Combina $\arctan (x^{2}) x^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2} - 2 \arctan (2)$

Paso 8.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2 - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2} - 2 \arctan (2)$

Paso 8.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\arctan (x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2} - 2 \arctan (2)$

Paso 9

Simplifica los términos.

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Paso 9.1

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} (2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{1}{| 5 |} | x^{4} + 1 |)) - 2 \arctan (2)$

Paso 9.2

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $5$ es $5$ .

$\frac{1}{2} (2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{1}{5} | x^{4} + 1 |)) - 2 \arctan (2)$

Paso 9.2.1.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $| x^{4} + 1 |$ .

$\frac{1}{2} (2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

Paso 9.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (2 \arctan (x^{2}) x^{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

Paso 9.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.3.1

Factoriza $2$ de $2 \arctan (x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\arctan (x^{2}) x^{2})) + \frac{1}{2} (- \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

Paso 9.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (2 (\arctan (x^{2}) x^{2})) + \frac{1}{2} (- \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

Paso 9.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\arctan (x^{2}) x^{2} + \frac{1}{2} (- \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

Paso 9.2.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

Paso 9.2.5

Para escribir $\arctan (x^{2}) x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

Paso 9.2.6

Combina $\arctan (x^{2}) x^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

Paso 9.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2 - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

Paso 9.2.8

Mueve $2$ a la izquierda de $\arctan (x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

Paso 9.2.9

Evalúa $\arctan (2)$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \cdot 1.10714871$

Paso 9.2.10

Multiplica $- 2$ por $1.10714871$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2.21429743$