Cálculo Ejemplos

$\int_{2}^{3} \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Paso 1.1.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Paso 1.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.6

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.6.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.7.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.1.2

Divide $(A) (x - 1)$ por $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.4

Reescribe $- 1 A$ como $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.5

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.1.7.5.1

Cancela el factor común.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 1.1.7.5.2

Divide $(B) (x + 1)$ por $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Paso 1.1.7.6

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Paso 1.1.7.7

Multiplica $B$ por $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Paso 1.1.8

Mueve $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = - 1 A + B$

Paso 1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Resuelve $A$ en $0 = A + B$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Paso 1.3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- B$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = - 1 A + B$ por $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.1

Simplifica $- 1 (- B) + B$ .

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Paso 1.3.2.2.1.1

Multiplica $- 1 (- B)$ .

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Paso 1.3.2.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Paso 1.3.2.2.1.1.2

Multiplica $B$ por $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Paso 1.3.2.2.1.2

Suma $B$ y $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Paso 1.3.3

Resuelve $B$ en $1 = 2 B$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Paso 1.3.3.2

Divide cada término en $2 B = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.3.3.2.1

Divide cada término en $2 B = 1$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Paso 1.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Paso 1.3.3.2.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{1}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = - B$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Paso 1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Paso 1.5.2

Multiplica $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Paso 1.5.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Paso 1.5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Paso 1.5.5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$\int_{2}^{3} - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{2}^{3} - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int_{2}^{3} \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{2}^{3} \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int_{2}^{3} \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int_{2}^{3} \frac{1}{x + 1} d x) + \int_{2}^{3} \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Paso 5

Sea $u_{1} = x + 1$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{1} = x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = x + 1$ .

$u_{lower} = 2 + 1$

Paso 5.3

Suma $2$ y $1$ .

$u_{lower} = 3$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = x + 1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Paso 5.5

Suma $3$ y $1$ .

$u_{upper} = 4$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$- \frac{1}{2} \int_{3}^{4} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{2}^{3} \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \int_{2}^{3} \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{2} \int_{2}^{3} \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 8

Sea $u_{2} = x - 1$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 8.1

Deja $u_{2} = x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 8.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 8.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 8.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 8.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = x - 1$ .

$u_{lower} = 2 - 1$

Paso 8.3

Resta $1$ de $2$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 8.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = x - 1$ .

$u_{upper} = 3 - 1$

Paso 8.5

Resta $1$ de $3$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 8.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 8.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}$

Paso 10

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.1

Evalúa $\ln (| u_{1} |)$ en $4$ y en $3$ .

$- \frac{1}{2} ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}$

Paso 10.2

Evalúa $\ln (| u_{2} |)$ en $2$ y en $1$ .

$- \frac{1}{2} ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 10.3

Elimina los paréntesis.

$- \frac{1}{2} (\ln (| 4 |) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |}) + \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 11.2

Combina $\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 11.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{2} + \frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Paso 11.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$ .

$- \frac{\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{2} + \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $4$ es $4$ .

$- \frac{\ln (\frac{4}{| 3 |})}{2} + \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

Paso 12.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$- \frac{\ln (\frac{4}{3})}{2} + \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

Paso 12.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$- \frac{\ln (\frac{4}{3})}{2} + \frac{\ln (\frac{2}{| 1 |})}{2}$

Paso 12.4

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{4}{3})}{2} + \frac{\ln (\frac{2}{1})}{2}$

Paso 12.5

Divide $2$ por $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{4}{3})}{2} + \frac{\ln (2)}{2}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{\ln (\frac{4}{3})}{2} + \frac{\ln (2)}{2}$

Forma decimal:

$0.20273255 \dots$

Paso 14