Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{4} \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{4} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} x^{- 2} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - (- x^{- 1}]_{1}^{4})$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1.1

Evalúa $\ln (| x |)$ en $4$ y en $1$ .

$(\ln (| 4 |)) - \ln (| 1 |) - (- x^{- 1}]_{1}^{4})$

Paso 6.1.2

Evalúa $- x^{- 1}$ en $4$ y en $1$ .

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 6.1.3

Simplifica.

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Paso 6.1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

Paso 6.1.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{4} + 1)$

Paso 6.1.3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

Paso 6.1.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - \frac{- 1 + 4}{4}$

Paso 6.1.3.5

Suma $- 1$ y $4$ .

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - \frac{3}{4}$

Paso 6.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 4 |}{| 1 |}) - \frac{3}{4}$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $4$ es $4$ .

$\ln (\frac{4}{| 1 |}) - \frac{3}{4}$

Paso 6.3.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\ln (\frac{4}{1}) - \frac{3}{4}$

Paso 6.3.3

Divide $4$ por $1$ .

$\ln (4) - \frac{3}{4}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\ln (4) - \frac{3}{4}$

Forma decimal:

$0.63629436 \dots$

Paso 8