Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{4} 4 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1 d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{4} 4 x^{3} d x + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Paso 2

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int_{1}^{4} x^{3} d x + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Paso 4

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Paso 5

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 \int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Paso 7

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Paso 8

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} d x$

Paso 10

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} d x$

Paso 11

Aplica la regla de la constante.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + x]_{1}^{4}$

Paso 12

Sustituye y simplifica.

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Paso 12.1

Evalúa $\frac{x^{4}}{4}$ en $4$ y en $1$ .

$4 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + x]_{1}^{4}$

Paso 12.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $4$ y en $1$ .

$4 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + x]_{1}^{4}$

Paso 12.3

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $4$ y en $1$ .

$4 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + x]_{1}^{4}$

Paso 12.4

Evalúa $x$ en $4$ y en $1$ .

$4 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5

Simplifica.

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Paso 12.5.1

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$4 (\frac{256}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.2

Cancela el factor común de $256$ y $4$ .

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Paso 12.5.2.1

Factoriza $4$ de $256$ .

$4 (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.5.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$4 (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$4 (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$4 (\frac{64}{1} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.2.2.4

Divide $64$ por $1$ .

$4 (64 - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 (64 - \frac{1}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.4

Para escribir $64$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$4 (64 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.5

Combina $64$ y $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{64 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \frac{64 \cdot 4 - 1}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.7

Simplifica el numerador.

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Paso 12.5.7.1

Multiplica $64$ por $4$ .

$4 \frac{256 - 1}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.7.2

Resta $1$ de $256$ .

$4 (\frac{255}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.8

Combina $4$ y $\frac{255}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 255}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.9

Multiplica $4$ por $255$ .

$\frac{1020}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.10

Cancela el factor común de $1020$ y $4$ .

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Paso 12.5.10.1

Factoriza $4$ de $1020$ .

$\frac{4 \cdot 255}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.5.10.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot 255}{4 (1)} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 255}{4 \cdot 1} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{255}{1} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.10.2.4

Divide $255$ por $1$ .

$255 - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.11

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$255 - 2 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.12

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$255 - 2 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$255 - 2 \frac{64 - 1}{3} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.14

Resta $1$ de $64$ .

$255 - 2 (\frac{63}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.15

Cancela el factor común de $63$ y $3$ .

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Paso 12.5.15.1

Factoriza $3$ de $63$ .

$255 - 2 \frac{3 \cdot 21}{3} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.15.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.5.15.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$255 - 2 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.15.2.2

Cancela el factor común.

$255 - 2 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.15.2.3

Reescribe la expresión.

$255 - 2 (\frac{21}{1}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.15.2.4

Divide $21$ por $1$ .

$255 - 2 \cdot 21 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.16

Multiplica $- 2$ por $21$ .

$255 - 42 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.17

Resta $42$ de $255$ .

$213 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.18

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$213 + 3 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.19

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 12.5.19.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$213 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.19.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.5.19.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$213 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.19.2.2

Cancela el factor común.

$213 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.19.2.3

Reescribe la expresión.

$213 + 3 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.19.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$213 + 3 (8 - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.20

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$213 + 3 (8 - \frac{1}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.21

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$213 + 3 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.22

Combina $8$ y $\frac{2}{2}$ .

$213 + 3 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.23

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$213 + 3 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} + 4 - 1$

Paso 12.5.24

Simplifica el numerador.

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Paso 12.5.24.1

Multiplica $8$ por $2$ .

$213 + 3 \frac{16 - 1}{2} + 4 - 1$

Paso 12.5.24.2

Resta $1$ de $16$ .

$213 + 3 (\frac{15}{2}) + 4 - 1$

Paso 12.5.25

Combina $3$ y $\frac{15}{2}$ .

$213 + \frac{3 \cdot 15}{2} + 4 - 1$

Paso 12.5.26

Multiplica $3$ por $15$ .

$213 + \frac{45}{2} + 4 - 1$

Paso 12.5.27

Para escribir $213$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$213 \cdot \frac{2}{2} + \frac{45}{2} + 4 - 1$

Paso 12.5.28

Combina $213$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{213 \cdot 2}{2} + \frac{45}{2} + 4 - 1$

Paso 12.5.29

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{213 \cdot 2 + 45}{2} + 4 - 1$

Paso 12.5.30

Simplifica el numerador.

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Paso 12.5.30.1

Multiplica $213$ por $2$ .

$\frac{426 + 45}{2} + 4 - 1$

Paso 12.5.30.2

Suma $426$ y $45$ .

$\frac{471}{2} + 4 - 1$

Paso 12.5.31

Resta $1$ de $4$ .

$\frac{471}{2} + 3$

Paso 12.5.32

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{471}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 12.5.33

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{471}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Paso 12.5.34

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{471 + 3 \cdot 2}{2}$

Paso 12.5.35

Simplifica el numerador.

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Paso 12.5.35.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{471 + 6}{2}$

Paso 12.5.35.2

Suma $471$ y $6$ .

$\frac{477}{2}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{477}{2}$

Forma decimal:

$238.5$

Forma de número mixto:

$238 \frac{1}{2}$

Paso 14