Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{4} 5 y \sqrt{y} + 3 \sqrt{y} d y$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} 5 y \cdot y^{\frac{1}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

Paso 1.2

Multiplica $y$ por $y^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} 5 (y^{\frac{1}{2}} y) + 3 \sqrt{y} d y$

Paso 1.2.2

Multiplica $y^{\frac{1}{2}}$ por $y$ .

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Paso 1.2.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int_{1}^{4} 5 (y^{\frac{1}{2}} y^{1}) + 3 \sqrt{y} d y$

Paso 1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1}{2} + 1} + 3 \sqrt{y} d y$

Paso 1.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

Paso 1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1 + 2}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

Paso 1.2.5

Suma $1$ y $2$ .

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{3}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{3}{2}} d y + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

Paso 3

Dado que $5$ es constante con respecto a $y$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int_{1}^{4} y^{\frac{3}{2}} d y + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

Paso 5

Combina $\frac{2}{5}$ y $y^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

Paso 6

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} \sqrt{y} d y$

Paso 7

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} y^{\frac{1}{2}} d y$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4})$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $y^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Paso 9.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.2.1

Evalúa $\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}$ en $4$ y en $1$ .

$5 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Paso 9.2.2

Evalúa $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ en $4$ y en $1$ .

$5 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3

Simplifica.

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Paso 9.2.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$5 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.3.3.1

Cancela el factor común.

$5 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.3.2

Reescribe la expresión.

$5 (\frac{2 \cdot 2^{5}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$5 (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.5

Multiplica $2$ por $32$ .

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 \frac{64 - 2}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.9

Resta $2$ de $64$ .

$5 (\frac{62}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.10

Combina $5$ y $\frac{62}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 62}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.11

Multiplica $5$ por $62$ .

$\frac{310}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.12

Cancela el factor común de $310$ y $5$ .

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Paso 9.2.3.12.1

Factoriza $5$ de $310$ .

$\frac{5 \cdot 62}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.12.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{5 \cdot 62}{5 (1)} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.12.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot 62}{5 \cdot 1} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.12.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{62}{1} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.12.2.4

Divide $62$ por $1$ .

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.13

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$62 + 3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.14

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.15

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.3.15.1

Cancela el factor común.

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.15.2

Reescribe la expresión.

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.16

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.17

Multiplica $2$ por $8$ .

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 9.2.3.18

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3})$

Paso 9.2.3.19

Multiplica $2$ por $1$ .

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Paso 9.2.3.20

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$62 + 3 \frac{16 - 2}{3}$

Paso 9.2.3.21

Resta $2$ de $16$ .

$62 + 3 (\frac{14}{3})$

Paso 9.2.3.22

Combina $3$ y $\frac{14}{3}$ .

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3}$

Paso 9.2.3.23

Multiplica $3$ por $14$ .

$62 + \frac{42}{3}$

Paso 9.2.3.24

Cancela el factor común de $42$ y $3$ .

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Paso 9.2.3.24.1

Factoriza $3$ de $42$ .

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3}$

Paso 9.2.3.24.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.24.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3 (1)}$

Paso 9.2.3.24.2.2

Cancela el factor común.

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1}$

Paso 9.2.3.24.2.3

Reescribe la expresión.

$62 + \frac{14}{1}$

Paso 9.2.3.24.2.4

Divide $14$ por $1$ .

$62 + 14$

Paso 9.2.3.25

Suma $62$ y $14$ .

$76$

Paso 10