Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{4} (1 - u) \sqrt{u} d u$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} (1 - u) u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 2

Expande $(1 - u) u^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{1}^{4} 1 u^{\frac{1}{2}} - u \cdot u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 2.2

Multiplica $u^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u \cdot u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 2.3

Factoriza el negativo.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - (u \cdot u^{\frac{1}{2}}) d u$

Paso 2.4

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - (u^{1} u^{\frac{1}{2}}) d u$

Paso 2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{1 + \frac{1}{2}} d u$

Paso 2.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d u$

Paso 2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{2 + 1}{2}} d u$

Paso 2.8

Suma $2$ y $1$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{4} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4})$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Combina $\frac{2}{5}$ y $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4})$

Paso 7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.2.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $4$ y en $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4})$

Paso 7.2.2

Evalúa $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ en $4$ y en $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Paso 7.2.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Paso 7.2.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Paso 7.2.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Paso 7.2.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Paso 7.2.3.5

Combina $\frac{2}{3}$ y $8$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Paso 7.2.3.6

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Paso 7.2.3.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Paso 7.2.3.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Paso 7.2.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{16 - 2}{3} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Paso 7.2.3.10

Resta $2$ de $16$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Paso 7.2.3.11

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Paso 7.2.3.12

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Paso 7.2.3.13

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.3.13.1

Cancela el factor común.

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Paso 7.2.3.13.2

Reescribe la expresión.

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{5}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Paso 7.2.3.14

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Paso 7.2.3.15

Multiplica $2$ por $32$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Paso 7.2.3.16

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{14}{3} - (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1}{5})$

Paso 7.2.3.17

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{64}{5} - \frac{2}{5})$

Paso 7.2.3.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{14}{3} - \frac{64 - 2}{5}$

Paso 7.2.3.19

Resta $2$ de $64$ .

$\frac{14}{3} - \frac{62}{5}$

Paso 7.2.3.20

Para escribir $\frac{14}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{14}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{62}{5}$

Paso 7.2.3.21

Para escribir $- \frac{62}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{62}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 7.2.3.22

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.3.22.1

Multiplica $\frac{14}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{14 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{62}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 7.2.3.22.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{14 \cdot 5}{15} - \frac{62}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 7.2.3.22.3

Multiplica $\frac{62}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14 \cdot 5}{15} - \frac{62 \cdot 3}{5 \cdot 3}$

Paso 7.2.3.22.4

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{14 \cdot 5}{15} - \frac{62 \cdot 3}{15}$

Paso 7.2.3.23

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{14 \cdot 5 - 62 \cdot 3}{15}$

Paso 7.2.3.24

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.24.1

Multiplica $14$ por $5$ .

$\frac{70 - 62 \cdot 3}{15}$

Paso 7.2.3.24.2

Multiplica $- 62$ por $3$ .

$\frac{70 - 186}{15}$

Paso 7.2.3.24.3

Resta $186$ de $70$ .

$\frac{- 116}{15}$

Paso 7.2.3.25

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{116}{15}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{116}{15}$

Forma decimal:

$- 7.7\overline{3}$

Forma de número mixto:

$- 7 \frac{11}{15}$

Paso 9