Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{4} \sqrt{\frac{2}{x}} d x$

Paso 1

Reescribe $\sqrt{\frac{2}{x}}$ como $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}} d x$

Paso 2

Dado que $\sqrt{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\sqrt{2}$ fuera de la integral.

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Paso 3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 3.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 3.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 3.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 3.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2} 2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $2 x^{\frac{1}{2}}$ en $4$ y en $1$ .

$\sqrt{2} ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2} (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{2} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{2} (2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.4

Evalúa el exponente.

$\sqrt{2} (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sqrt{2} (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{2} (4 - 2 \cdot 1)$

Paso 5.2.7

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\sqrt{2} (4 - 2)$

Paso 5.2.8

Resta $2$ de $4$ .

$\sqrt{2} \cdot 2$

Paso 5.2.9

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 \sqrt{2}$

Forma decimal:

$2.82842712 \dots$

Paso 7