Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{32} \sqrt[5]{x} d x$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{x}$ como $x^{\frac{1}{5}}$ .

$\int_{1}^{32} x^{\frac{1}{5}} d x$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{5}}$ con respecto a $x$ es $\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}}$ .

$\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}}]_{1}^{32}$

Paso 3

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.1

Evalúa $\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}}$ en $32$ y en $1$ .

$(\frac{5}{6} \cdot 32^{\frac{6}{5}}) - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Reescribe $32$ como $2^{5}$ .

$\frac{5}{6} \cdot {(2^{5})}^{\frac{6}{5}} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Paso 3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{6} \cdot 2^{5 (\frac{6}{5})} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{6} \cdot 2^{5 (\frac{6}{5})} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Paso 3.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{6} \cdot 2^{6} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Paso 3.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $6$ .

$\frac{5}{6} \cdot 64 - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Paso 3.2.5

Combina $\frac{5}{6}$ y $64$ .

$\frac{5 \cdot 64}{6} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Paso 3.2.6

Multiplica $5$ por $64$ .

$\frac{320}{6} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Paso 3.2.7

Cancela el factor común de $320$ y $6$ .

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Paso 3.2.7.1

Factoriza $2$ de $320$ .

$\frac{2 (160)}{6} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Paso 3.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.7.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 160}{2 \cdot 3} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Paso 3.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 160}{2 \cdot 3} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Paso 3.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{160}{3} - \frac{5}{6} \cdot 1^{\frac{6}{5}}$

Paso 3.2.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{160}{3} - \frac{5}{6} \cdot 1$

Paso 3.2.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{160}{3} - \frac{5}{6}$

Paso 3.2.10

Para escribir $\frac{160}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{160}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{6}$

Paso 3.2.11

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.2.11.1

Multiplica $\frac{160}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{160 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{5}{6}$

Paso 3.2.11.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{160 \cdot 2}{6} - \frac{5}{6}$

Paso 3.2.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{160 \cdot 2 - 5}{6}$

Paso 3.2.13

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.13.1

Multiplica $160$ por $2$ .

$\frac{320 - 5}{6}$

Paso 3.2.13.2

Resta $5$ de $320$ .

$\frac{315}{6}$

Paso 3.2.14

Cancela el factor común de $315$ y $6$ .

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Paso 3.2.14.1

Factoriza $3$ de $315$ .

$\frac{3 (105)}{6}$

Paso 3.2.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.14.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 105}{3 \cdot 2}$

Paso 3.2.14.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 105}{3 \cdot 2}$

Paso 3.2.14.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{105}{2}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{105}{2}$

Forma decimal:

$52.5$

Forma de número mixto:

$52 \frac{1}{2}$

Paso 5