Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} {(x + \frac{1}{x})}^{2} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Reescribe ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ como $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ .

$\int_{1}^{2} (x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x}) d x$

Paso 1.2

Expande $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{1}^{2} x (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) d x$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) d x$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Paso 1.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Paso 1.3.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Paso 1.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Paso 1.3.1.3.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x \cdot x} d x$

Paso 1.3.1.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x} d x$

Paso 1.3.1.3.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Paso 1.3.1.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Paso 1.3.1.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 1.3.2

Suma $1$ y $1$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{1} x + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{1} x^{1} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{1}^{2} x^{1 + 1} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} 2 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} 2 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 5

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 6

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 6.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 6.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + - x^{- 1}]_{1}^{2}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Simplifica.

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Paso 8.1.1

Combina $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}$ y $2 x]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{1}^{2} + - x^{- 1}]_{1}^{2}$

Paso 8.1.2

Combina $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{1}^{2}$ y $- x^{- 1}]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x - x^{- 1}]_{1}^{2}$

Paso 8.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.2.1

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x - x^{- 1}$ en $2$ y en $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2 - 2^{- 1}) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Paso 8.2.2

Simplifica.

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Paso 8.2.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 + 2 \cdot 2 - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Paso 8.2.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $8$ .

$\frac{8}{3} + 2 \cdot 2 - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Paso 8.2.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{8}{3} + 4 - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Paso 8.2.2.4

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Paso 8.2.2.5

Combina $4$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Paso 8.2.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 + 4 \cdot 3}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Paso 8.2.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.2.7.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{8 + 12}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Paso 8.2.2.7.2

Suma $8$ y $12$ .

$\frac{20}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Paso 8.2.2.8

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{20}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Paso 8.2.2.9

Para escribir $\frac{20}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{20}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Paso 8.2.2.10

Para escribir $- \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Paso 8.2.2.11

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.2.2.11.1

Multiplica $\frac{20}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{20 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Paso 8.2.2.11.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{20 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Paso 8.2.2.11.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Paso 8.2.2.11.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{20 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Paso 8.2.2.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{20 \cdot 2 - 3}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Paso 8.2.2.13

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.2.13.1

Multiplica $20$ por $2$ .

$\frac{40 - 3}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Paso 8.2.2.13.2

Resta $3$ de $40$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Paso 8.2.2.14

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Paso 8.2.2.15

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Paso 8.2.2.16

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + 2 - 1^{- 1})$

Paso 8.2.2.17

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - 1^{- 1})$

Paso 8.2.2.18

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - 1^{- 1})$

Paso 8.2.2.19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{37}{6} - (\frac{1 + 2 \cdot 3}{3} - 1^{- 1})$

Paso 8.2.2.20

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.2.20.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1 + 6}{3} - 1^{- 1})$

Paso 8.2.2.20.2

Suma $1$ y $6$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1^{- 1})$

Paso 8.2.2.21

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1 \cdot 1)$

Paso 8.2.2.22

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1)$

Paso 8.2.2.23

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})$

Paso 8.2.2.24

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})$

Paso 8.2.2.25

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{37}{6} - \frac{7 - 1 \cdot 3}{3}$

Paso 8.2.2.26

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.2.26.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{37}{6} - \frac{7 - 3}{3}$

Paso 8.2.2.26.2

Resta $3$ de $7$ .

$\frac{37}{6} - \frac{4}{3}$

Paso 8.2.2.27

Para escribir $- \frac{4}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{37}{6} - \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 8.2.2.28

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.2.2.28.1

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{37}{6} - \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Paso 8.2.2.28.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{37}{6} - \frac{4 \cdot 2}{6}$

Paso 8.2.2.29

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{37 - 4 \cdot 2}{6}$

Paso 8.2.2.30

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.2.30.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{37 - 8}{6}$

Paso 8.2.2.30.2

Resta $8$ de $37$ .

$\frac{29}{6}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{29}{6}$

Forma decimal:

$4.8\overline{3}$

Forma de número mixto:

$4 \frac{5}{6}$

Paso 10