Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} 2 e^{- 4 x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{2} 2 e^{- 4 x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{1}^{2} e^{- 4 x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 3

Sea $u = - 4 x$ . Entonces $d u = - 4 d x$ , de modo que $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = - 4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 3.1.2

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Paso 3.1.4

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - 4 x$ .

$u_{lower} = - 4 \cdot 1$

Paso 3.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u_{lower} = - 4$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - 4 x$ .

$u_{upper} = - 4 \cdot 2$

Paso 3.5

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$u_{upper} = - 8$

Paso 3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = - 8$

Paso 3.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$2 \int_{- 4}^{- 8} e^{u} \frac{1}{- 4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 \int_{- 4}^{- 8} e^{u} (- \frac{1}{4}) d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{4}$ .

$2 \int_{- 4}^{- 8} - \frac{e^{u}}{4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (- \int_{- 4}^{- 8} \frac{e^{u}}{4} d u) + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \int_{- 4}^{- 8} \frac{e^{u}}{4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$- 2 (\frac{1}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u) + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $- 2$ .

$\frac{- 2}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 8.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 8.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 11

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 11.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 11.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 11.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 11.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Paso 13

Sustituye y simplifica.

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Paso 13.1

Evalúa $e^{u}$ en $- 8$ y en $- 4$ .

$- \frac{1}{2} ((e^{- 8}) - e^{- 4}) - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Paso 13.2

Evalúa $- x^{- 1}$ en $2$ y en $1$ .

$- \frac{1}{2} ((e^{- 8}) - e^{- 4}) - ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Paso 13.3

Simplifica.

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Paso 13.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Paso 13.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + 1)$

Paso 13.3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Paso 13.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - \frac{- 1 + 2}{2}$

Paso 13.3.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - \frac{1}{2}$

Paso 13.3.6

Para escribir $- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 13.3.7

Combina $- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4})$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 13.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot 2 - 1}{2}$

Paso 13.3.9

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 (\frac{1}{2}) (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Paso 13.3.10

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{- 2}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Paso 13.3.11

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 13.3.11.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Paso 13.3.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.3.11.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Paso 13.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Paso 13.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{- 1}{1} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Paso 13.3.11.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1 (1)}{2}$

Paso 14.2

Factoriza $- 1$ de $- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)}{2}$

Paso 14.3

Reescribe $- (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)$ como $- 1 (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)$ .

$\frac{- 1 (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)}{2}$

Paso 14.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{e^{- 8} - e^{- 4} + 1}{2}$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{e^{- 8} - e^{- 4} + 1}{2}$

Forma decimal:

$- 0.49100991 \dots$

Paso 16