Cálculo Ejemplos

$\int \sin^{5} (4 x) d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = 4 x$ . Entonces $d u_{1} = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = 4 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 1.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \sin^{5} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

Paso 2

Combina $\sin^{5} (u_{1})$ y $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\sin^{5} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int \sin^{5} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 4

Factoriza $\sin^{4} (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} \int \sin^{4} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{4} \int {\sin (u_{1})}^{2 (2)} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2

Reescribe ${\sin (u_{1})}^{2 (2)}$ como exponenciación.

$\frac{1}{4} \int {(\sin^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sin^{2} (u_{1})$ como $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} \int {(1 - \cos^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Paso 7

Sea $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Entonces $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 7.1

Deja $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Paso 7.1.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} \int - {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (- \int {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2})$

Paso 9

Expande ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ .

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Paso 9.1

Reescribe ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ como $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ .

$\frac{1}{4} (- \int (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Paso 9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} (- \int 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Paso 9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Paso 9.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Paso 9.5

Mueve ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Paso 9.6

Mueve ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 9.7

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 9.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 9.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 9.10

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 9.11

Multiplica ${u_{2}}^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 9.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2})$

Paso 9.13

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Paso 9.14

Resta ${u_{2}}^{2}$ de $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Paso 9.15

Reordena $- 2 {u_{2}}^{2}$ y ${u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 9.16

Mueve $1$ .

$\frac{1}{4} (- \int {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2})$

Paso 10

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{4} (- (\int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}))$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{4}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}))$

Paso 12

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}))$

Paso 13

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int d u_{2}))$

Paso 14

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + u_{2} + C))$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica.

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Paso 15.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C))$

Paso 15.1.2

Combina $\frac{1}{5}$ y ${u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C))$

Paso 15.2

Simplifica.

$\frac{1}{4} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2})) + C$

Paso 16

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 16.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{\cos^{5} (u_{1})}{5} - \frac{2 \cos^{3} (u_{1})}{3} + \cos (u_{1}))) + C$

Paso 16.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{\cos^{5} (4 x)}{5} - \frac{2 \cos^{3} (4 x)}{3} + \cos (4 x))) + C$

Paso 17

Reordena los términos.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} \cos^{5} (4 x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (4 x) + \cos (4 x))) + C$