Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{16} 5 + x^{\frac{1}{4}} d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{16} 5 d x + \int_{1}^{16} x^{\frac{1}{4}} d x$

Paso 2

Aplica la regla de la constante.

$5 x]_{1}^{16} + \int_{1}^{16} x^{\frac{1}{4}} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ .

$5 x]_{1}^{16} + \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}]_{1}^{16}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Combina $5 x]_{1}^{16}$ y $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}]_{1}^{16}$ .

$5 x + \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}]_{1}^{16}$

Paso 4.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.2.1

Evalúa $5 x + \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ en $16$ y en $1$ .

$(5 \cdot 16 + \frac{4}{5} \cdot 16^{\frac{5}{4}}) - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Multiplica $5$ por $16$ .

$80 + \frac{4}{5} \cdot 16^{\frac{5}{4}} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Paso 4.2.2.2

Reescribe $16$ como $2^{4}$ .

$80 + \frac{4}{5} \cdot {(2^{4})}^{\frac{5}{4}} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Paso 4.2.2.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$80 + \frac{4}{5} \cdot 2^{4 (\frac{5}{4})} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Paso 4.2.2.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$80 + \frac{4}{5} \cdot 2^{4 (\frac{5}{4})} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Paso 4.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$80 + \frac{4}{5} \cdot 2^{5} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Paso 4.2.2.5

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$80 + \frac{4}{5} \cdot 32 - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Paso 4.2.2.6

Combina $\frac{4}{5}$ y $32$ .

$80 + \frac{4 \cdot 32}{5} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Paso 4.2.2.7

Multiplica $4$ por $32$ .

$80 + \frac{128}{5} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Paso 4.2.2.8

Para escribir $80$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$80 \cdot \frac{5}{5} + \frac{128}{5} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Paso 4.2.2.9

Combina $80$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{80 \cdot 5}{5} + \frac{128}{5} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Paso 4.2.2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{80 \cdot 5 + 128}{5} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Paso 4.2.2.11

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.2.11.1

Multiplica $80$ por $5$ .

$\frac{400 + 128}{5} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Paso 4.2.2.11.2

Suma $400$ y $128$ .

$\frac{528}{5} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Paso 4.2.2.12

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{528}{5} - (5 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Paso 4.2.2.13

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{528}{5} - (5 + \frac{4}{5} \cdot 1)$

Paso 4.2.2.14

Multiplica $\frac{4}{5}$ por $1$ .

$\frac{528}{5} - (5 + \frac{4}{5})$

Paso 4.2.2.15

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{528}{5} - (5 \cdot \frac{5}{5} + \frac{4}{5})$

Paso 4.2.2.16

Combina $5$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{528}{5} - (\frac{5 \cdot 5}{5} + \frac{4}{5})$

Paso 4.2.2.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{528}{5} - \frac{5 \cdot 5 + 4}{5}$

Paso 4.2.2.18

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.2.18.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{528}{5} - \frac{25 + 4}{5}$

Paso 4.2.2.18.2

Suma $25$ y $4$ .

$\frac{528}{5} - \frac{29}{5}$

Paso 4.2.2.19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{528 - 29}{5}$

Paso 4.2.2.20

Resta $29$ de $528$ .

$\frac{499}{5}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{499}{5}$

Forma decimal:

$99.8$

Forma de número mixto:

$99 \frac{4}{5}$

Paso 6