Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} t^{5} - t^{3} + 1 d t$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{2} t^{5} d t + \int_{1}^{2} - t^{3} d t + \int_{1}^{2} d t$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{5}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{6} t^{6}$ .

$\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - t^{3} d t + \int_{1}^{2} d t$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} t^{3} d t + \int_{1}^{2} d t$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{3}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2} - (\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} d t$

Paso 5

Combina $\frac{1}{4}$ y $t^{4}$ .

$\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2} - (\frac{t^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} d t$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2} - (\frac{t^{4}}{4}]_{1}^{2}) + t]_{1}^{2}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2}$ y $t]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + t]_{1}^{2} - (\frac{t^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Paso 7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.2.1

Evalúa $\frac{1}{6} t^{6} + t$ en $2$ y en $1$ .

$(\frac{1}{6} \cdot 2^{6} + 2) - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - (\frac{t^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Paso 7.2.2

Evalúa $\frac{t^{4}}{4}$ en $2$ y en $1$ .

$(\frac{1}{6} \cdot 2^{6} + 2) - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot 64 + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.2

Combina $\frac{1}{6}$ y $64$ .

$\frac{64}{6} + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.3

Cancela el factor común de $64$ y $6$ .

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Paso 7.2.3.3.1

Factoriza $2$ de $64$ .

$\frac{2 (32)}{6} + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{32}{3} + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.4

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.5

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{32 + 2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.7.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{32 + 6}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.7.2

Suma $32$ y $6$ .

$\frac{38}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{38}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1 + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.9

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $1$ .

$\frac{38}{3} - (\frac{1}{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.10

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{38}{3} - (\frac{1}{6} + \frac{6}{6}) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{38}{3} - \frac{1 + 6}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.12

Suma $1$ y $6$ .

$\frac{38}{3} - \frac{7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.13

Para escribir $\frac{38}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{38}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.14

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.3.14.1

Multiplica $\frac{38}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{38 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.14.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{38 \cdot 2}{6} - \frac{7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{38 \cdot 2 - 7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.16

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.16.1

Multiplica $38$ por $2$ .

$\frac{76 - 7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.16.2

Resta $7$ de $76$ .

$\frac{69}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.17

Cancela el factor común de $69$ y $6$ .

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Paso 7.2.3.17.1

Factoriza $3$ de $69$ .

$\frac{3 (23)}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.17.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.17.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 23}{3 \cdot 2} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.17.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 23}{3 \cdot 2} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.17.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{23}{2} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.18

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{23}{2} - (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.19

Cancela el factor común de $16$ y $4$ .

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Paso 7.2.3.19.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{23}{2} - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.19.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.19.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{23}{2} - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.19.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{23}{2} - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.19.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{23}{2} - (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.19.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$\frac{23}{2} - (4 - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 7.2.3.20

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{23}{2} - (4 - \frac{1}{4})$

Paso 7.2.3.21

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{23}{2} - (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4})$

Paso 7.2.3.22

Combina $4$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{23}{2} - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4})$

Paso 7.2.3.23

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{23}{2} - \frac{4 \cdot 4 - 1}{4}$

Paso 7.2.3.24

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.24.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{23}{2} - \frac{16 - 1}{4}$

Paso 7.2.3.24.2

Resta $1$ de $16$ .

$\frac{23}{2} - \frac{15}{4}$

Paso 7.2.3.25

Para escribir $\frac{23}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{23}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{4}$

Paso 7.2.3.26

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.3.26.1

Multiplica $\frac{23}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{23 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{15}{4}$

Paso 7.2.3.26.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{23 \cdot 2}{4} - \frac{15}{4}$

Paso 7.2.3.27

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{23 \cdot 2 - 15}{4}$

Paso 7.2.3.28

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.28.1

Multiplica $23$ por $2$ .

$\frac{46 - 15}{4}$

Paso 7.2.3.28.2

Resta $15$ de $46$ .

$\frac{31}{4}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{31}{4}$

Forma decimal:

$7.75$

Forma de número mixto:

$7 \frac{3}{4}$

Paso 9