Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{- 1} {(12 x + 11)}^{2} d x$

Paso 1

Sea $u = 12 x + 11$ . Entonces $d u = 12 d x$ , de modo que $\frac{1}{12} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 12 x + 11$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $12 x + 11$ .

$\frac{d}{d x} [12 x + 11]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x + 11$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $12$ por $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [11]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $11$ con respecto a $x$ es $0$ .

$12 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $12$ y $0$ .

$12$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 12 x + 11$ .

$u_{lower} = 12 \cdot 1 + 11$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $12$ por $1$ .

$u_{lower} = 12 + 11$

Paso 1.3.2

Suma $12$ y $11$ .

$u_{lower} = 23$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 12 x + 11$ .

$u_{upper} = 12 \cdot - 1 + 11$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$u_{upper} = - 12 + 11$

Paso 1.5.2

Suma $- 12$ y $11$ .

$u_{upper} = - 1$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 23$

$u_{upper} = - 1$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{23}^{- 1} u^{2} \frac{1}{12} d u$

Paso 2

Combina $u^{2}$ y $\frac{1}{12}$ .

$\int_{23}^{- 1} \frac{u^{2}}{12} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{12}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{12}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{12} \int_{23}^{- 1} u^{2} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{12} \frac{1}{3} u^{3}]_{23}^{- 1}$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $\frac{1}{3} u^{3}$ en $- 1$ y en $23$ .

$\frac{1}{12} ((\frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1}{3} \cdot - 1 - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

Paso 5.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{12} (\frac{- 1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

Paso 5.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

Paso 5.2.4

Eleva $23$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 12167)$

Paso 5.2.5

Multiplica $12167$ por $- 1$ .

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - 12167 (\frac{1}{3}))$

Paso 5.2.6

Combina $- 12167$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} + \frac{- 12167}{3})$

Paso 5.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - \frac{12167}{3})$

Paso 5.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 1 - 12167}{3}$

Paso 5.2.9

Resta $12167$ de $- 1$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 12168}{3}$

Paso 5.2.10

Cancela el factor común de $- 12168$ y $3$ .

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Paso 5.2.10.1

Factoriza $3$ de $- 12168$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot - 4056}{3}$

Paso 5.2.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.10.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot - 4056}{3 (1)}$

Paso 5.2.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot - 4056}{3 \cdot 1}$

Paso 5.2.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 4056}{1}$

Paso 5.2.10.2.4

Divide $- 4056$ por $1$ .

$\frac{1}{12} \cdot - 4056$

Paso 5.2.11

Combina $\frac{1}{12}$ y $- 4056$ .

$\frac{- 4056}{12}$

Paso 5.2.12

Cancela el factor común de $- 4056$ y $12$ .

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Paso 5.2.12.1

Factoriza $12$ de $- 4056$ .

$\frac{12 \cdot - 338}{12}$

Paso 5.2.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.12.2.1

Factoriza $12$ de $12$ .

$\frac{12 \cdot - 338}{12 (1)}$

Paso 5.2.12.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{12 \cdot - 338}{12 \cdot 1}$

Paso 5.2.12.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 338}{1}$

Paso 5.2.12.2.4

Divide $- 338$ por $1$ .

$- 338$

Paso 6