Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{π} x \sin (2 x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \sin (2 x)$ .

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x))]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Paso 2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Combina $\cos (2 x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2})]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Paso 2.2

Combina $x$ y $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Paso 3

Dado que $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- \frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

Paso 4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x$

Paso 5

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 5.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Paso 5.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Paso 5.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 6

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u)$

Paso 8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Paso 8.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Paso 9

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{2 π}$

Paso 10

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Evalúa $- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ en $π$ y en $0$ .

$(- \frac{π \cos (2 π)}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{2 π}$

Paso 10.2

Evalúa $\sin (u)$ en $2 π$ y en $0$ .

$(- \frac{π \cos (2 π)}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Paso 10.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Paso 10.3.2

Multiplica $0$ por $\cos (0)$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{0}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Paso 10.3.3

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.3.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Paso 10.3.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Paso 10.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Paso 10.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{0}{1} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Paso 10.3.3.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + 0 + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Paso 10.3.4

Suma $- \frac{π \cos (2 π)}{2}$ y $0$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Paso 10.3.5

Para escribir $\frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0)) \cdot \frac{2}{2}$

Paso 10.3.6

Combina $\frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{\frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0)) \cdot 2}{2}$

Paso 10.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0)) \cdot 2}{2}$

Paso 10.3.8

Combina $2$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Paso 10.3.9

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.9.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2 (1)}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Paso 10.3.9.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.9.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Paso 10.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Paso 10.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Paso 11

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)}{2}$

Paso 11.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0)}{2}$

Paso 11.3

Suma $\sin (2 π)$ y $0$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} \sin (2 π)}{2}$

Paso 11.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 π)$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2}}{2}$

Paso 11.5

Multiplica $\frac{- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2}}{2}$

Paso 11.6

Combinar.

$\frac{2 (- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2})}{2 \cdot 2}$

Paso 11.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (- π \cos (2 π)) + 2 \frac{\sin (2 π)}{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 11.8

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- π \cos (2 π)) + 2 \frac{\sin (2 π)}{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 11.8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (- π \cos (2 π)) + \sin (2 π)}{2 \cdot 2}$

Paso 11.9

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 (π \cos (2 π)) + \sin (2 π)}{2 \cdot 2}$

Paso 11.10

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π)}{4}$

Paso 11.11

Factoriza $- 1$ de $- 2 π \cos (2 π)$ .

$\frac{- (2 π \cos (2 π)) + \sin (2 π)}{4}$

Paso 11.12

Factoriza $- 1$ de $\sin (2 π)$ .

$\frac{- (2 π \cos (2 π)) - 1 (- \sin (2 π))}{4}$

Paso 11.13

Factoriza $- 1$ de $- (2 π \cos (2 π)) - 1 (- \sin (2 π))$ .

$\frac{- (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))}{4}$

Paso 11.14

Reescribe $- (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))$ como $- 1 (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))$ .

$\frac{- 1 (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))}{4}$

Paso 11.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 π \cos (2 π) - \sin (2 π)}{4}$

Paso 12

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- \frac{2 π \cos (0) - \sin (2 π)}{4}$

Paso 12.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- \frac{2 π \cdot 1 - \sin (2 π)}{4}$

Paso 12.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$- \frac{2 π - \sin (2 π)}{4}$

Paso 12.4

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- \frac{2 π - \sin (0)}{4}$

Paso 12.5

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- \frac{2 π - 0}{4}$

Paso 12.6

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- \frac{2 π + 0}{4}$

Paso 12.7

Cancela el factor común de $2 π + 0$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.7.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$- \frac{2 (π) + 0}{4}$

Paso 12.7.2

Factoriza $2$ de $0$ .

$- \frac{2 (π) + 2 (0)}{4}$

Paso 12.7.3

Factoriza $2$ de $2 (π) + 2 (0)$ .

$- \frac{2 (π + 0)}{4}$

Paso 12.7.4

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.7.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- \frac{2 (π + 0)}{2 (2)}$

Paso 12.7.4.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 (π + 0)}{2 \cdot 2}$

Paso 12.7.4.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{π + 0}{2}$

Paso 12.8

Suma $π$ y $0$ .

$- \frac{π}{2}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{π}{2}$

Forma decimal:

$- 1.57079632 \dots$