Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{π} x \cos (3 x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \cos (3 x)$ .

$x (\frac{1}{3} \sin (3 x))]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Paso 2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\sin (3 x)$ .

$x \frac{\sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Paso 2.2

Combina $x$ y $\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (3 x) d x)$

Paso 4

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 4.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Paso 4.3

Multiplica $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 π$

Paso 4.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3 π$

Paso 4.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Paso 5

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \frac{\sin (u)}{3} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u)$

Paso 7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

Paso 7.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{9} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

Paso 8

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{9} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Evalúa $\frac{x \sin (3 x)}{3}$ en $π$ y en $0$ .

$(\frac{π \sin (3 π)}{3}) - \frac{0 \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{1}{9} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

Paso 9.2

Evalúa $- \cos (u)$ en $3 π$ y en $0$ .

$(\frac{π \sin (3 π)}{3}) - \frac{0 \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Paso 9.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0 \sin (0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Paso 9.3.2

Multiplica $0$ por $\sin (0)$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Paso 9.3.3

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.3.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Paso 9.3.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Paso 9.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Paso 9.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0}{1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Paso 9.3.3.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - 0 - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Paso 9.3.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} + 0 - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Paso 9.3.5

Suma $\frac{π \sin (3 π)}{3}$ y $0$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Paso 9.3.6

Para escribir $- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot \frac{3}{3}$

Paso 9.3.7

Combina $- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} + \frac{- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot 3}{3}$

Paso 9.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot 3}{3}$

Paso 9.3.9

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{π \sin (3 π) - 3 (\frac{1}{9}) (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Paso 9.3.10

Combina $- 3$ y $\frac{1}{9}$ .

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{- 3}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Paso 9.3.11

Cancela el factor común de $- 3$ y $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.11.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 (- 1)}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Paso 9.3.11.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.11.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Paso 9.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Paso 9.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{- 1}{3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Paso 9.3.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Paso 10

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Paso 11

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{π \sin (π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Paso 11.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{π \sin (0) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Paso 11.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{π \cdot 0 - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Paso 11.4

Multiplica $π$ por $0$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Paso 11.5

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- \cos (π) + 1)}{3}$

Paso 11.6

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- - \cos (0) + 1)}{3}$

Paso 11.7

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)}{3}$

Paso 11.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- - 1 + 1)}{3}$

Paso 11.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (1 + 1)}{3}$

Paso 11.10

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} \cdot 2}{3}$

Paso 11.11

Multiplica $- \frac{1}{3} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.11.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{0 - 2 (\frac{1}{3})}{3}$

Paso 11.11.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{0 + \frac{- 2}{3}}{3}$

Paso 11.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{0 - \frac{2}{3}}{3}$

Paso 11.13

Resta $\frac{2}{3}$ de $0$ .

$\frac{- \frac{2}{3}}{3}$

Paso 11.14

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 11.15

Multiplica $- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.15.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 3}$

Paso 11.15.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{2}{9}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{2}{9}$

Forma decimal:

$- 0.\overline{2}$