Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{π} {(1 + \cos (7 t))}^{2} \sin (7 t) d t$

Paso 1

Sea $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ . Entonces $d u_{2} = - 7 \sin (7 t) d t$ , de modo que $- \frac{1}{7} d u_{2} = \sin (7 t) d t$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 + \cos (7 t)$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \cos (7 t)]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \cos (7 t)$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$ .

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Paso 1.1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \cos (t)$ y $g (t) = 7 t$ .

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Paso 1.1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $7 t$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [7 t]$

Paso 1.1.3.1.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$0 - \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [7 t]$

Paso 1.1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $7 t$ .

$0 - \sin (7 t) \frac{d}{d t} [7 t]$

Paso 1.1.3.2

Como $7$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $7 t$ con respecto a $t$ es $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - \sin (7 t) (7 \frac{d}{d t} [t])$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - \sin (7 t) (7 \cdot 1)$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $7$ por $1$ .

$0 - \sin (7 t) \cdot 7$

Paso 1.1.3.5

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$0 - 7 \sin (7 t)$

Paso 1.1.4

Resta $7 \sin (7 t)$ de $0$ .

$- 7 \sin (7 t)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (7 \cdot 0)$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $7$ por $0$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (0)$

Paso 1.3.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Paso 1.3.2

Suma $1$ y $1$ .

$u_{lower} = 2$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (7 π)$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (π)$

Paso 1.5.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$u_{upper} = 1 - \cos (0)$

Paso 1.5.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Paso 1.5.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Paso 1.5.2

Resta $1$ de $1$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 0$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} \frac{1}{- 7} d u_{2}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} (- \frac{1}{7}) d u_{2}$

Paso 2.2

Combina ${u_{2}}^{2}$ y $\frac{1}{7}$ .

$\int_{2}^{0} - \frac{{u_{2}}^{2}}{7} d u_{2}$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{2}^{0} \frac{{u_{2}}^{2}}{7} d u_{2}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{7}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{7}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{7} \int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$- \frac{1}{7} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{2}^{0}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ en $0$ y en $2$ .

$- \frac{1}{7} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Paso 6.2.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $0$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Paso 6.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{1}{3} \cdot 8)$

Paso 6.2.4

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{7} (0 - 8 (\frac{1}{3}))$

Paso 6.2.5

Combina $- 8$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{7} (0 + \frac{- 8}{3})$

Paso 6.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{8}{3})$

Paso 6.2.7

Resta $\frac{8}{3}$ de $0$ .

$- \frac{1}{7} (- \frac{8}{3})$

Paso 6.2.8

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{7}) \frac{8}{3}$

Paso 6.2.9

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $1$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{8}{3}$

Paso 6.2.10

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $\frac{8}{3}$ .

$\frac{8}{7 \cdot 3}$

Paso 6.2.11

Multiplica $7$ por $3$ .

$\frac{8}{21}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{8}{21}$

Forma decimal:

$0.\overline{380952}$