Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{2} 3 \sqrt{4 u + 1} d u$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $u$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{0}^{2} \sqrt{4 u + 1} d u$

Paso 2

Sea $u_{1} = 4 u + 1$ . Entonces $d u_{1} = 4 d u$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{1} = d u$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = 4 u + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $4 u + 1$ .

$\frac{d}{d u} [4 u + 1]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 u + 1$ con respecto a $u$ es $\frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [1]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d u} [4 u]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $u$ , la derivada de $4 u$ con respecto a $u$ es $4 \frac{d}{d u} [u]$ .

$4 \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d u} [1]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d u} [1]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $u$ , la derivada de $1$ con respecto a $u$ es $0$ .

$4 + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $4$ y $0$ .

$4$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $u$ en $u_{1} = 4 u + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 2.3.2

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $u$ en $u_{1} = 4 u + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 2 + 1$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$u_{upper} = 8 + 1$

Paso 2.5.2

Suma $8$ y $1$ .

$u_{upper} = 9$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$3 \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{4} d u_{1}$

Paso 3

Combina $\sqrt{u_{1}}$ y $\frac{1}{4}$ .

$3 \int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u_{1}}}{4} d u_{1}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} d u_{1})$

Paso 5

Combina fracciones.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $3$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Paso 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{9} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{4} \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ en $9$ y en $1$ .

$\frac{3}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 7.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 7.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 7.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 7.2.5

Combina $\frac{2}{3}$ y $27$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 7.2.6

Multiplica $2$ por $27$ .

$\frac{3}{4} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 7.2.7

Cancela el factor común de $54$ y $3$ .

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Paso 7.2.7.1

Factoriza $3$ de $54$ .

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 7.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.7.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 7.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 7.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{4} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 7.2.7.2.4

Divide $18$ por $1$ .

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 7.2.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Paso 7.2.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3})$

Paso 7.2.10

Para escribir $18$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Paso 7.2.11

Combina $18$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

Paso 7.2.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Paso 7.2.13

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.13.1

Multiplica $18$ por $3$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

Paso 7.2.13.2

Resta $2$ de $54$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{52}{3}$

Paso 7.2.14

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{52}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 52}{4 \cdot 3}$

Paso 7.2.15

Multiplica $3$ por $52$ .

$\frac{156}{4 \cdot 3}$

Paso 7.2.16

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{156}{12}$

Paso 7.2.17

Cancela el factor común de $156$ y $12$ .

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Paso 7.2.17.1

Factoriza $12$ de $156$ .

$\frac{12 \cdot 13}{12}$

Paso 7.2.17.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.17.2.1

Factoriza $12$ de $12$ .

$\frac{12 \cdot 13}{12 (1)}$

Paso 7.2.17.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{12 \cdot 13}{12 \cdot 1}$

Paso 7.2.17.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{13}{1}$

Paso 7.2.17.2.4

Divide $13$ por $1$ .

$13$

Paso 8