Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{3} x \sqrt{x + 1} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \sqrt{x + 1}$ .

$x (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 2.2

Combina $x$ y $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{3} - (\frac{2}{3} \int_{0}^{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Paso 4

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 4.3

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Paso 4.5

Suma $3$ y $1$ .

$u_{upper} = 4$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{3} - \frac{2}{3} \int_{1}^{4} u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ en $3$ y en $0$ .

$(\frac{3 (2 {(3 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

Paso 6.2

Evalúa $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ en $4$ y en $1$ .

$(\frac{3 (2 {(3 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{3 (2 \cdot 4^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{3 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (2 \cdot 2^{3})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.5

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{3 (2 \cdot 8)}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.6

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{3 \cdot 16}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.7

Multiplica $3$ por $16$ .

$\frac{48}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.8

Cancela el factor común de $48$ y $3$ .

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Paso 6.3.8.1

Factoriza $3$ de $48$ .

$\frac{3 \cdot 16}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.8.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 16}{3 (1)} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 16}{3 \cdot 1} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{16}{1} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.8.2.4

Divide $16$ por $1$ .

$16 - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.9

Suma $0$ y $1$ .

$16 - \frac{0 (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$16 - \frac{0 (2 \cdot 1)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.11

Multiplica $2$ por $1$ .

$16 - \frac{0 \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.12

Multiplica $0$ por $2$ .

$16 - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.13

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 6.3.13.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$16 - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.13.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$16 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.13.2.2

Cancela el factor común.

$16 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.13.2.3

Reescribe la expresión.

$16 - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.13.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$16 - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.14

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$16 + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.15

Suma $16$ y $0$ .

$16 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.16

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.17

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.18

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.18.1

Cancela el factor común.

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.18.2

Reescribe la expresión.

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.19

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.20

Combina $\frac{2}{5}$ y $32$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.21

Multiplica $2$ por $32$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.22

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$16 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1)$

Paso 6.3.23

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$16 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5})$

Paso 6.3.24

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$16 - \frac{2}{3} \cdot \frac{64 - 2}{5}$

Paso 6.3.25

Resta $2$ de $64$ .

$16 - \frac{2}{3} \cdot \frac{62}{5}$

Paso 6.3.26

Multiplica $\frac{62}{5}$ por $\frac{2}{3}$ .

$16 - \frac{62 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Paso 6.3.27

Multiplica $62$ por $2$ .

$16 - \frac{124}{5 \cdot 3}$

Paso 6.3.28

Multiplica $5$ por $3$ .

$16 - \frac{124}{15}$

Paso 6.3.29

Para escribir $16$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{15}{15}$ .

$16 \cdot \frac{15}{15} - \frac{124}{15}$

Paso 6.3.30

Combina $16$ y $\frac{15}{15}$ .

$\frac{16 \cdot 15}{15} - \frac{124}{15}$

Paso 6.3.31

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{16 \cdot 15 - 124}{15}$

Paso 6.3.32

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.32.1

Multiplica $16$ por $15$ .

$\frac{240 - 124}{15}$

Paso 6.3.32.2

Resta $124$ de $240$ .

$\frac{116}{15}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{116}{15}$

Forma decimal:

$7.7\overline{3}$

Forma de número mixto:

$7 \frac{11}{15}$

Paso 8