Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{5} t \sqrt{25 - t^{2}} d t$

Paso 1

Sea $u = 25 - t^{2}$ . Entonces $d u = - 2 t d t$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 25 - t^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $25 - t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [25 - t^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $25 - t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Como $25$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $25$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t^{2}$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 t)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 t$

Paso 1.1.4

Resta $2 t$ de $0$ .

$- 2 t$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = 25 - t^{2}$ .

$u_{lower} = 25 - 0^{2}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 25 - 0$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 25 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $25$ y $0$ .

$u_{lower} = 25$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = 25 - t^{2}$ .

$u_{upper} = 25 - 5^{2}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = 25 - 1 \cdot 25$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$u_{upper} = 25 - 25$

Paso 1.5.2

Resta $25$ de $25$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 25$

$u_{upper} = 0$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{25}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{25}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 2.2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{25}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{25}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int_{25}^{0} \sqrt{u} d u)$

Paso 5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{25}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{25}^{0}$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $0$ y en $25$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

Paso 7.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.3.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

Paso 7.2.3.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

Paso 7.2.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

Paso 7.2.5

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

Paso 7.2.6

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Paso 7.2.7

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})})$

Paso 7.2.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.8.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})})$

Paso 7.2.8.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 5^{3})$

Paso 7.2.9

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 125)$

Paso 7.2.10

Multiplica $125$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 125 (\frac{2}{3}))$

Paso 7.2.11

Combina $- 125$ y $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{- 125 \cdot 2}{3})$

Paso 7.2.12

Multiplica $- 125$ por $2$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{- 250}{3})$

Paso 7.2.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{250}{3})$

Paso 7.2.14

Resta $\frac{250}{3}$ de $0$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{250}{3})$

Paso 7.2.15

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{250}{3}$

Paso 7.2.16

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{250}{3}$

Paso 7.2.17

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{250}{3}$ .

$\frac{250}{2 \cdot 3}$

Paso 7.2.18

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{250}{6}$

Paso 7.2.19

Cancela el factor común de $250$ y $6$ .

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Paso 7.2.19.1

Factoriza $2$ de $250$ .

$\frac{2 (125)}{6}$

Paso 7.2.19.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.19.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 125}{2 \cdot 3}$

Paso 7.2.19.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 125}{2 \cdot 3}$

Paso 7.2.19.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{125}{3}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{125}{3}$

Forma decimal:

$41.\overline{6}$

Forma de número mixto:

$41 \frac{2}{3}$

Paso 9