Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{5} 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Paso 1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int_{0}^{5} \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$4 \int_{0}^{5} x^{\frac{2}{3}} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{0}^{5})$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Combina $\frac{3}{5}$ y $x^{\frac{5}{3}}$ .

$4 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{0}^{5})$

Paso 4.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.2.1

Evalúa $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ en $5$ y en $0$ .

$4 ((\frac{3 \cdot 5^{\frac{5}{3}}}{5}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Mueve $5^{1}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{5}{3}} \cdot 5^{- 1} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $5^{\frac{5}{3}}$ por $5^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.2.2.1

Mueve $5^{- 1}$ .

$4 (3 \cdot (5^{- 1} \cdot 5^{\frac{5}{3}}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Paso 4.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 (3 \cdot 5^{- 1 + \frac{5}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Paso 4.2.2.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$4 (3 \cdot 5^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Paso 4.2.2.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Paso 4.2.2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 (3 \cdot 5^{\frac{- 1 \cdot 3 + 5}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Paso 4.2.2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.2.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{- 3 + 5}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Paso 4.2.2.2.6.2

Suma $- 3$ y $5$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Paso 4.2.2.3

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Paso 4.2.2.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Paso 4.2.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.2.5.1

Cancela el factor común.

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Paso 4.2.2.5.2

Reescribe la expresión.

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{5}}{5})$

Paso 4.2.2.6

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot 0}{5})$

Paso 4.2.2.7

Multiplica $3$ por $0$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{0}{5})$

Paso 4.2.2.8

Cancela el factor común de $0$ y $5$ .

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Paso 4.2.2.8.1

Factoriza $5$ de $0$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{5 (0)}{5})$

Paso 4.2.2.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.8.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Paso 4.2.2.8.2.2

Cancela el factor común.

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Paso 4.2.2.8.2.3

Reescribe la expresión.

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{0}{1})$

Paso 4.2.2.8.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - 0)$

Paso 4.2.2.9

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} + 0)$

Paso 4.2.2.10

Suma $3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}$ y $0$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}})$

Paso 4.2.2.11

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 \cdot 5^{\frac{2}{3}}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$12 \cdot 5^{\frac{2}{3}}$

Forma decimal:

$35.08821285 \dots$

Paso 6