Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\ln (3)} 3 e^{3 x} d x$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{0}^{\ln (3)} e^{3 x} d x$

Paso 2

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 2.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Paso 2.3

Multiplica $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \ln (3)$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Simplifica $3 \ln (3)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$u_{upper} = \ln (3^{3})$

Paso 2.5.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$u_{upper} = \ln (27)$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (27)$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$3 \int_{0}^{\ln (27)} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Paso 3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$3 \int_{0}^{\ln (27)} \frac{e^{u}}{3} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\ln (27)} e^{u} d u)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\frac{3}{3} \int_{0}^{\ln (27)} e^{u} d u$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{3} \int_{0}^{\ln (27)} e^{u} d u$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int_{0}^{\ln (27)} e^{u} d u$

Paso 5.3

Multiplica $\int_{0}^{\ln (27)} e^{u} d u$ por $1$ .

$\int_{0}^{\ln (27)} e^{u} d u$

Paso 6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{u}]_{0}^{\ln (27)}$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $e^{u}$ en $\ln (27)$ y en $0$ .

$(e^{\ln (27)}) - e^{0}$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$27 - e^{0}$

Paso 7.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$27 - 1 \cdot 1$

Paso 7.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$27 - 1$

Paso 7.2.4

Resta $1$ de $27$ .

$26$

Paso 8