Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\ln (2)} \frac{e^{x} + e^{- x}}{3} d x$

Paso 1

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\ln (2)} e^{x} + e^{- x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{3} (\int_{0}^{\ln (2)} e^{x} d x + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x)$

Paso 3

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x)$

Paso 4

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 4.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Paso 4.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - x$ .

$u_{upper} = - \ln (2)$

Paso 4.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \ln (2)$

Paso 4.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{- \ln (2)} - e^{u} d u)$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{- \ln (2)} e^{u} d u)$

Paso 6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)}))$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $e^{x}$ en $\ln (2)$ y en $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{\ln (2)}) - e^{0} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)}))$

Paso 7.2

Evalúa $e^{u}$ en $- \ln (2)$ y en $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{\ln (2)}) - e^{0} - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\frac{1}{3} (2 - e^{0} - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Paso 7.3.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{3} (2 - 1 \cdot 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Paso 7.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (2 - 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Paso 7.3.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{3} (1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Paso 7.3.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{3} (1 - (e^{- \ln (2)} - 1 \cdot 1))$

Paso 7.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (1 - (e^{- \ln (2)} - 1))$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1.1

Simplifica $- \ln (2)$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$\frac{1}{3} (1 - (e^{\ln (2^{- 1})} - 1))$

Paso 8.1.1.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\frac{1}{3} (1 - (2^{- 1} - 1))$

Paso 8.1.1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{2} - 1))$

Paso 8.1.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}))$

Paso 8.1.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}))$

Paso 8.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} (1 - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2})$

Paso 8.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{3} (1 - \frac{1 - 2}{2})$

Paso 8.1.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{3} (1 - \frac{- 1}{2})$

Paso 8.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} (1 - - \frac{1}{2})$

Paso 8.1.7

Multiplica $- - \frac{1}{2}$ .

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Paso 8.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (1 + 1 (\frac{1}{2}))$

Paso 8.1.7.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (1 + \frac{1}{2})$

Paso 8.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

Paso 8.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 + 1}{2}$

Paso 8.4

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Paso 8.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Paso 8.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$

Paso 10