Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{a} x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

Paso 1

Sea $u = a^{2} - x^{2}$ . Entonces $d u = - 2 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = a^{2} - x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $a^{2} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2} - x^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $a^{2} - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Como $a^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Paso 1.1.4

Resta $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0^{2}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = a^{2} + 0$

Paso 1.3.2

Suma $a^{2}$ y $0$ .

$u_{lower} = a^{2}$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{upper} = a^{2} - a^{2}$

Paso 1.5

Resta $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = a^{2}$

$u_{upper} = 0$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 2.2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{a^{2}}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u)$

Paso 5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{a^{2}}^{0}$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $0$ y en $a^{2}$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Paso 7.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.3.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Paso 7.2.3.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Paso 7.2.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Paso 7.2.5

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Paso 7.2.6

Multiplica los exponentes en ${(a^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 7.2.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

Paso 7.2.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.6.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

Paso 7.2.6.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{3})$

Paso 7.2.7

Resta $\frac{2}{3} a^{3}$ de $0$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} a^{3})$

Paso 7.2.8

Combina $a^{3}$ y $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{a^{3} \cdot 2}{3})$

Paso 7.2.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

Paso 7.2.10

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

Paso 7.2.11

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{a^{3} \cdot 2}{3}$ .

$\frac{a^{3} \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Paso 7.2.12

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{a^{3} \cdot 2}{6}$

Paso 7.2.13

Mueve $2$ a la izquierda de $a^{3}$ .

$\frac{2 \cdot a^{3}}{6}$

Paso 7.2.14

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 7.2.14.1

Factoriza $2$ de $2 a^{3}$ .

$\frac{2 (a^{3})}{6}$

Paso 7.2.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.14.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 a^{3}}{2 \cdot 3}$

Paso 7.2.14.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 a^{3}}{2 \cdot 3}$

Paso 7.2.14.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{a^{3}}{3}$

Paso 8

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} a^{3}$

Paso 9

Combina $\frac{1}{3}$ y $a^{3}$ .

$\frac{a^{3}}{3}$