Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} 5 x e^{2 x} d x$

Paso 1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int_{0}^{1} x e^{2 x} d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{2 x}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} e^{2 x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$5 (x \frac{e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Paso 3.2

Combina $x$ y $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{2 x} d x))$

Paso 5

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 5.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Paso 5.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Paso 6

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{2} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u} d u))$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{2} e^{u} d u)$

Paso 8.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{0}^{2} e^{u} d u)$

Paso 9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{2})$

Paso 10

Combina $e^{u}]_{0}^{2}$ y $\frac{1}{4}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{e^{u}]_{0}^{2}}{4})$

Paso 11

Sustituye y simplifica.

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Paso 11.1

Evalúa $\frac{x e^{2 x}}{2}$ en $1$ y en $0$ .

$5 ((\frac{1 e^{2 \cdot 1}}{2}) - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{2}}{4})$

Paso 11.2

Evalúa $e^{u}$ en $2$ y en $0$ .

$5 ((\frac{1 e^{2 \cdot 1}}{2}) - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Paso 11.3

Simplifica.

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Paso 11.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$5 (\frac{1 e^{2}}{2} - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Paso 11.3.2

Multiplica $e^{2}$ por $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Paso 11.3.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0 e^{0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Paso 11.3.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Paso 11.3.5

Multiplica $0$ por $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Paso 11.3.6

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 11.3.6.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Paso 11.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Paso 11.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Paso 11.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0}{1} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Paso 11.3.6.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - 0 - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Paso 11.3.7

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} + 0 - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Paso 11.3.8

Suma $\frac{e^{2}}{2}$ y $0$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Paso 11.3.9

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{2} - 1 \cdot 1}{4})$

Paso 11.3.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

Paso 11.3.11

Para escribir $\frac{e^{2}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

Paso 11.3.12

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 11.3.12.1

Multiplica $\frac{e^{2}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{e^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

Paso 11.3.12.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$5 (\frac{e^{2} \cdot 2}{4} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

Paso 11.3.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 \frac{e^{2} \cdot 2 - (e^{2} - 1)}{4}$

Paso 11.3.14

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2}$ .

$5 \frac{2 \cdot e^{2} - (e^{2} - 1)}{4}$

Paso 11.3.15

Combina $5$ y $\frac{2 e^{2} - (e^{2} - 1)}{4}$ .

$\frac{5 (2 e^{2} - (e^{2} - 1))}{4}$

Paso 12

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 (2 e^{2} - e^{2} - - 1)}{4}$

Paso 12.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{5 (2 e^{2} - e^{2} + 1)}{4}$

Paso 12.3

Resta $e^{2}$ de $2 e^{2}$ .

$\frac{5 (e^{2} + 1)}{4}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{5 (e^{2} + 1)}{4}$

Forma decimal:

$10.48632012 \dots$

Paso 14