Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{16} 4 \sqrt{x} d x$

Paso 1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int_{0}^{16} \sqrt{x} d x$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int_{0}^{16} x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{16})$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{16})$

Paso 4.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.2.1

Evalúa $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ en $16$ y en $0$ .

$4 ((\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$4 (\frac{2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 4.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{2 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 4.2.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$4 (\frac{2 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 4.2.2.3.2

Reescribe la expresión.

$4 (\frac{2 \cdot 4^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 4.2.2.4

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$4 (\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 4.2.2.5

Multiplica $2$ por $64$ .

$4 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 4.2.2.6

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$4 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 4.2.2.7

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Paso 4.2.2.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.8.1

Cancela el factor común.

$4 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Paso 4.2.2.8.2

Reescribe la expresión.

$4 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

Paso 4.2.2.9

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

Paso 4.2.2.10

Multiplica $2$ por $0$ .

$4 (\frac{128}{3} - \frac{0}{3})$

Paso 4.2.2.11

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 4.2.2.11.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$4 (\frac{128}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Paso 4.2.2.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.11.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$4 (\frac{128}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 4.2.2.11.2.2

Cancela el factor común.

$4 (\frac{128}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 4.2.2.11.2.3

Reescribe la expresión.

$4 (\frac{128}{3} - \frac{0}{1})$

Paso 4.2.2.11.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$4 (\frac{128}{3} - 0)$

Paso 4.2.2.12

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$4 (\frac{128}{3} + 0)$

Paso 4.2.2.13

Suma $\frac{128}{3}$ y $0$ .

$4 (\frac{128}{3})$

Paso 4.2.2.14

Combina $4$ y $\frac{128}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 128}{3}$

Paso 4.2.2.15

Multiplica $4$ por $128$ .

$\frac{512}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{512}{3}$

Forma decimal:

$170.\overline{6}$

Forma de número mixto:

$170 \frac{2}{3}$

Paso 6