Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} {(x^{2} + 1)}^{10} (2 x) d x$

Paso 1

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x^{2} + 1)}^{10}$ .

$\int_{0}^{1} 2 {(x^{2} + 1)}^{10} x d x$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{0}^{1} {(x^{2} + 1)}^{10} x d x$

Paso 3

Sea $u = x^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 3.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 3.3.2

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1 + 1$

Paso 3.5.2

Suma $1$ y $1$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 3.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$2 \int_{1}^{2} u^{10} \frac{1}{2} d u$

Paso 4

Combina $u^{10}$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{1}^{2} \frac{u^{10}}{2} d u$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Paso 6.3

Multiplica $\int_{1}^{2} u^{10} d u$ por $1$ .

$\int_{1}^{2} u^{10} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{10}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11}]_{1}^{2}$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $\frac{1}{11} u^{11}$ en $2$ y en $1$ .

$(\frac{1}{11} \cdot 2^{11}) - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $11$ .

$\frac{1}{11} \cdot 2048 - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Paso 8.2.2

Combina $\frac{1}{11}$ y $2048$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Paso 8.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1$

Paso 8.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11}$

Paso 8.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2048 - 1}{11}$

Paso 8.2.6

Resta $1$ de $2048$ .

$\frac{2047}{11}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2047}{11}$

Forma decimal:

$186.\overline{09}$

Forma de número mixto:

$186 \frac{1}{11}$

Paso 10