Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \frac{2}{2 x^{2} + 3 x + 1} d x$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{0}^{1} \frac{1}{2 x^{2} + 3 x + 1} d x$

Paso 2

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 2.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.1.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ y cuya suma es $b = 3$ .

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Paso 2.1.1.1.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 3 (x) + 1}$

Paso 2.1.1.1.2

Reescribe $3$ como $1$ más $2$

$\frac{1}{2 x^{2} + (1 + 2) x + 1}$

Paso 2.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2 x^{2} + 1 x + 2 x + 1}$

Paso 2.1.1.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + x + 2 x + 1}$

Paso 2.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{1}{(2 x^{2} + x) + 2 x + 1}$

Paso 2.1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{1}{x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}$

Paso 2.1.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$\frac{1}{(2 x + 1) (x + 1)}$

Paso 2.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{2 x + 1}$

Paso 2.1.3

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$

Paso 2.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(2 x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{1 (2 x + 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 2.1.5

Cancela el factor común de $2 x + 1$ .

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Paso 2.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (2 x + 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 2.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 2.1.6

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 2.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 2.1.6.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 2.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.7.1

Cancela el factor común de $2 x + 1$ .

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Paso 2.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 2.1.7.1.2

Divide $(A) (x + 1)$ por $1$ .

$1 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 2.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 2.1.7.3

Multiplica $A$ por $1$ .

$1 = A x + A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 2.1.7.4

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 2.1.7.4.1

Cancela el factor común.

$1 = A x + A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Paso 2.1.7.4.2

Divide $(B) (2 x + 1)$ por $1$ .

$1 = A x + A + (B) (2 x + 1)$

Paso 2.1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x + A + B (2 x) + B \cdot 1$

Paso 2.1.7.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = A x + A + 2 B x + B \cdot 1$

Paso 2.1.7.7

Multiplica $B$ por $1$ .

$1 = A x + A + 2 B x + B$

Paso 2.1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.8.1

Mueve $B$ .

$1 = A x + A + 2 x B + B$

Paso 2.1.8.2

Mueve $A$ .

$1 = A x + 2 x B + A + B$

Paso 2.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + 2 B$

Paso 2.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + B$

Paso 2.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + 2 B$

$1 = A + B$

$0 = A + 2 B$

$1 = A + B$

Paso 2.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 2.3.1

Resuelve $A$ en $0 = A + 2 B$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + 2 B = 0$ .

$A + 2 B = 0$

$1 = A + B$

Paso 2.3.1.2

Resta $2 B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = - 2 B$

$1 = A + B$

$A = - 2 B$

$1 = A + B$

Paso 2.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- 2 B$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = A + B$ por $- 2 B$ .

$1 = (- 2 B) + B$

$A = - 2 B$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.2.1

Suma $- 2 B$ y $B$ .

$1 = - B$

$A = - 2 B$

$1 = - B$

$A = - 2 B$

$1 = - B$

$A = - 2 B$

Paso 2.3.3

Resuelve $B$ en $1 = - B$ .

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Paso 2.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- B = 1$ .

$- B = 1$

$A = - 2 B$

Paso 2.3.3.2

Divide cada término en $- B = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Divide cada término en $- B = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

Paso 2.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

Paso 2.3.3.2.2.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

Paso 2.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.2.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$B = - 1$

$A = - 2 B$

$B = - 1$

$A = - 2 B$

$B = - 1$

$A = - 2 B$

$B = - 1$

$A = - 2 B$

Paso 2.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $- 1$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = - 2 B$ por $- 1$ .

$A = - 2 \cdot - 1$

$B = - 1$

Paso 2.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.4.2.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$A = 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$B = - 1$

Paso 2.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 2, B = - 1$

Paso 2.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{2}{2 x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Paso 2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 \int_{0}^{1} \frac{2}{2 x + 1} - \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$2 (\int_{0}^{1} \frac{2}{2 x + 1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Paso 4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 (2 \int_{0}^{1} \frac{1}{2 x + 1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Paso 5

Sea $u_{1} = 2 x + 1$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{1} = 2 x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 5.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = 2 x + 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 5.3.2

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = 2 x + 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1 + 1$

Paso 5.5

Simplifica.

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Paso 5.5.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Paso 5.5.2

Suma $2$ y $1$ .

$u_{upper} = 3$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$2 (2 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 (2 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Paso 6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$2 (2 \int_{1}^{3} \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 (\frac{2}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{2}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Paso 8.2.2

Reescribe la expresión.

$2 (1 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Paso 8.3

Multiplica $\int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ por $1$ .

$2 (\int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} - \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x)$

Paso 11

Sea $u_{2} = x + 1$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 11.1

Deja $u_{2} = x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 11.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 11.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 11.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 11.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 11.3

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 11.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = x + 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Paso 11.5

Suma $1$ y $1$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 11.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 11.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 12

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} - (\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}))$

Paso 13

Sustituye y simplifica.

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Paso 13.1

Evalúa $\ln (| u_{1} |)$ en $3$ y en $1$ .

$2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |) - (\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}))$

Paso 13.2

Evalúa $\ln (| u_{2} |)$ en $2$ y en $1$ .

$2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |) - ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Paso 13.3

Elimina los paréntesis.

$2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 (\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$

Paso 14.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 (\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}) - \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}))$

Paso 14.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{\frac{| 3 |}{| 1 |}}{\frac{| 2 |}{| 1 |}})$

Paso 14.4

Reescribe $\frac{\frac{| 3 |}{| 1 |}}{\frac{| 2 |}{| 1 |}}$ como un producto.

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |} \cdot \frac{1}{\frac{| 2 |}{| 1 |}})$

Paso 14.5

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{| 2 |}{| 1 |}$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |} (1 \frac{| 1 |}{| 2 |}))$

Paso 14.6

Multiplica $\frac{| 1 |}{| 2 |}$ por $1$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |} \cdot \frac{| 1 |}{| 2 |})$

Paso 14.7

Multiplica $\frac{| 3 |}{| 1 |}$ por $\frac{| 1 |}{| 2 |}$ .

$2 \ln (\frac{| 3 | | 1 |}{| 1 | | 2 |})$

Paso 14.8

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$2 \ln (\frac{| 3 \cdot 1 |}{| 1 | | 2 |})$

Paso 14.9

Multiplica $3$ por $1$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 | | 2 |})$

Paso 14.10

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 \cdot 2 |})$

Paso 14.11

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$2 \ln (\frac{3}{| 2 |})$

Paso 15.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$2 \ln (\frac{3}{2})$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 \ln (\frac{3}{2})$

Forma decimal:

$0.81093021 \dots$

Paso 17