Cálculo Ejemplos

Evalúe la integral integral de 0 a 1 de 2/(2x^2+3x+1) con respecto a x
Paso 1
Dado que es constante con respecto a , mueve fuera de la integral.
Paso 2
Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.
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Paso 2.1
Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.
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Paso 2.1.1
Factoriza por agrupación.
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Paso 2.1.1.1
Para un polinomio de la forma , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es y cuya suma es .
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Paso 2.1.1.1.1
Factoriza de .
Paso 2.1.1.1.2
Reescribe como más
Paso 2.1.1.1.3
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.1.1.1.4
Multiplica por .
Paso 2.1.1.2
Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.
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Paso 2.1.1.2.1
Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.
Paso 2.1.1.2.2
Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.
Paso 2.1.1.3
Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, .
Paso 2.1.2
Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar .
Paso 2.1.3
Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar .
Paso 2.1.4
Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es .
Paso 2.1.5
Cancela el factor común de .
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Paso 2.1.5.1
Cancela el factor común.
Paso 2.1.5.2
Reescribe la expresión.
Paso 2.1.6
Cancela el factor común de .
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Paso 2.1.6.1
Cancela el factor común.
Paso 2.1.6.2
Reescribe la expresión.
Paso 2.1.7
Simplifica cada término.
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Paso 2.1.7.1
Cancela el factor común de .
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Paso 2.1.7.1.1
Cancela el factor común.
Paso 2.1.7.1.2
Divide por .
Paso 2.1.7.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.1.7.3
Multiplica por .
Paso 2.1.7.4
Cancela el factor común de .
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Paso 2.1.7.4.1
Cancela el factor común.
Paso 2.1.7.4.2
Divide por .
Paso 2.1.7.5
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 2.1.7.6
Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Paso 2.1.7.7
Multiplica por .
Paso 2.1.8
Simplifica la expresión.
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Paso 2.1.8.1
Mueve .
Paso 2.1.8.2
Mueve .
Paso 2.2
Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.
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Paso 2.2.1
Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.
Paso 2.2.2
Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.
Paso 2.2.3
Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.
Paso 2.3
Resuelve el sistema de ecuaciones.
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Paso 2.3.1
Resuelve en .
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Paso 2.3.1.1
Reescribe la ecuación como .
Paso 2.3.1.2
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 2.3.2
Reemplaza todos los casos de por en cada ecuación.
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Paso 2.3.2.1
Reemplaza todos los casos de en por .
Paso 2.3.2.2
Simplifica el lado derecho.
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Paso 2.3.2.2.1
Suma y .
Paso 2.3.3
Resuelve en .
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Paso 2.3.3.1
Reescribe la ecuación como .
Paso 2.3.3.2
Divide cada término en por y simplifica.
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Paso 2.3.3.2.1
Divide cada término en por .
Paso 2.3.3.2.2
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 2.3.3.2.2.1
La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.
Paso 2.3.3.2.2.2
Divide por .
Paso 2.3.3.2.3
Simplifica el lado derecho.
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Paso 2.3.3.2.3.1
Divide por .
Paso 2.3.4
Reemplaza todos los casos de por en cada ecuación.
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Paso 2.3.4.1
Reemplaza todos los casos de en por .
Paso 2.3.4.2
Simplifica el lado derecho.
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Paso 2.3.4.2.1
Multiplica por .
Paso 2.3.5
Enumera todas las soluciones.
Paso 2.4
Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en con los valores obtenidos para y .
Paso 2.5
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 3
Divide la única integral en varias integrales.
Paso 4
Dado que es constante con respecto a , mueve fuera de la integral.
Paso 5
Sea . Entonces , de modo que . Reescribe mediante y .
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Paso 5.1
Deja . Obtén .
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Paso 5.1.1
Diferencia .
Paso 5.1.2
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 5.1.3
Evalúa .
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Paso 5.1.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 5.1.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 5.1.3.3
Multiplica por .
Paso 5.1.4
Diferencia con la regla de la constante.
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Paso 5.1.4.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 5.1.4.2
Suma y .
Paso 5.2
Sustituye el límite inferior por en .
Paso 5.3
Simplifica.
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Paso 5.3.1
Multiplica por .
Paso 5.3.2
Suma y .
Paso 5.4
Sustituye el límite superior por en .
Paso 5.5
Simplifica.
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Paso 5.5.1
Multiplica por .
Paso 5.5.2
Suma y .
Paso 5.6
Los valores obtenidos para y se usarán para evaluar la integral definida.
Paso 5.7
Reescribe el problema mediante , y los nuevos límites de integración.
Paso 6
Simplifica.
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Paso 6.1
Multiplica por .
Paso 6.2
Mueve a la izquierda de .
Paso 7
Dado que es constante con respecto a , mueve fuera de la integral.
Paso 8
Simplifica.
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Paso 8.1
Combina y .
Paso 8.2
Cancela el factor común de .
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Paso 8.2.1
Cancela el factor común.
Paso 8.2.2
Reescribe la expresión.
Paso 8.3
Multiplica por .
Paso 9
La integral de con respecto a es .
Paso 10
Dado que es constante con respecto a , mueve fuera de la integral.
Paso 11
Sea . Entonces . Reescribe mediante y .
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Paso 11.1
Deja . Obtén .
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Paso 11.1.1
Diferencia .
Paso 11.1.2
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 11.1.3
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 11.1.4
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 11.1.5
Suma y .
Paso 11.2
Sustituye el límite inferior por en .
Paso 11.3
Suma y .
Paso 11.4
Sustituye el límite superior por en .
Paso 11.5
Suma y .
Paso 11.6
Los valores obtenidos para y se usarán para evaluar la integral definida.
Paso 11.7
Reescribe el problema mediante , y los nuevos límites de integración.
Paso 12
La integral de con respecto a es .
Paso 13
Sustituye y simplifica.
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Paso 13.1
Evalúa en y en .
Paso 13.2
Evalúa en y en .
Paso 13.3
Elimina los paréntesis.
Paso 14
Simplifica.
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Paso 14.1
Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, .
Paso 14.2
Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, .
Paso 14.3
Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, .
Paso 14.4
Reescribe como un producto.
Paso 14.5
Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por .
Paso 14.6
Multiplica por .
Paso 14.7
Multiplica por .
Paso 14.8
Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.
Paso 14.9
Multiplica por .
Paso 14.10
Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.
Paso 14.11
Multiplica por .
Paso 15
Simplifica.
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Paso 15.1
El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre y es .
Paso 15.2
El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre y es .
Paso 16
El resultado puede mostrarse de distintas formas.
Forma exacta:
Forma decimal:
Paso 17