Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x^{4} - 1} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{4} - 1$ . Entonces $d u = 4 x^{3} d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Deja $u = x^{4} - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia $x^{4} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Paso 1.1.5

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$4 x^{3}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{4} - 1$ .

$u_{lower} = 0^{4} - 1$

Paso 1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Paso 1.3.2

Resta $1$ de $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{4} - 1$ .

$u_{upper} = 1^{4} - 1$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1 - 1$

Paso 1.5.2

Resta $1$ de $1$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

Paso 2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Paso 2.2

Mueve $4$ a la izquierda de $u$ .

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{4 u} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{0} \frac{1}{u} d u$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u |)]_{- 1}^{0}$

Paso 5

Evalúa $\ln (| u |)$ en $0$ y en $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| 0 |) - \ln (| - 1 |))$

Paso 6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})$

Paso 6.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $\ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})}{4}$

Paso 7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{| - 1 |})}{4}$

Paso 7.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 1$ y $0$ es $1$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{1})}{4}$

Paso 7.3

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{\ln (0)}{4}$

Paso 7.4

El logaritmo natural de cero es indefinido.

Indefinida

$\frac{\ln (0)}{4}$

Paso 8

El logaritmo natural de cero es indefinido.

Indefinida