Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\sqrt{5}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{2} + 4$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{2} + 4$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 1.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{2} + 4$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 4$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Paso 1.3.2

Suma $0$ y $4$ .

$u_{lower} = 4$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{2} + 4$ .

$u_{upper} = {\sqrt{5}}^{2} + 4$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 1.5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4$

Paso 1.5.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4$

Paso 1.5.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$u_{upper} = 5^{\frac{2}{2}} + 4$

Paso 1.5.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.1.4.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 5^{\frac{2}{2}} + 4$

Paso 1.5.1.4.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = 5^{1} + 4$

Paso 1.5.1.5

Evalúa el exponente.

$u_{upper} = 5 + 4$

Paso 1.5.2

Suma $5$ y $4$ .

$u_{upper} = 9$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 9$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$\int_{4}^{9} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 4.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 4.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 4.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $2 u^{\frac{1}{2}}$ en $9$ y en $4$ .

$\frac{1}{2} ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.4

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.5

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.6

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.7

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Paso 6.2.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Paso 6.2.8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 2^{1})$

Paso 6.2.9

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 2)$

Paso 6.2.10

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (6 - 4)$

Paso 6.2.11

Resta $4$ de $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Paso 6.2.12

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2}$

Paso 6.2.13

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.13.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2}$

Paso 6.2.13.2

Reescribe la expresión.

$1$

Paso 7