Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (y) d y$

Paso 1

La integral de $\sec (y)$ con respecto a $y$ es $\ln (| \sec (y) + \tan (y) |)$ .

$\ln (| \sec (y) + \tan (y) |)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Paso 2

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1

Evalúa $\ln (| \sec (y) + \tan (y) |)$ en $\frac{π}{6}$ y en $0$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{6}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{6})$ es $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \tan (\frac{π}{6}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Paso 2.2.2

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Paso 2.2.3

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

Paso 2.2.4

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |) - \ln (| 1 + 0 |)$

Paso 2.2.5

Suma $1$ y $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |) - \ln (| 1 |)$

Paso 2.2.6

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.1.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.3.1.1.2.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.1.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.1.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.1.2.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.3.1.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.1.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.1.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.1.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.1.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.1.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.1.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.3

Suma $2 \sqrt{3}$ y $\sqrt{3}$ .

$\ln (\frac{| \frac{3 \sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{| \frac{3 \sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.4.2

Divide $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{3} |}{| 1 |})$

Paso 2.3.1.5

$\sqrt{3}$ es aproximadamente $1.7320508$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{| 1 |})$

Paso 2.3.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{1})$

Paso 2.3.3

Divide $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\ln (\sqrt{3})$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\ln (\sqrt{3})$

Forma decimal:

$0.54930614 \dots$