Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\sqrt{15}} \frac{6 x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Paso 1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int_{0}^{\sqrt{15}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Paso 2

Sea $u = x^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 2.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 2.3.2

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = {\sqrt{15}}^{2} + 1$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Reescribe ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

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Paso 2.5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Paso 2.5.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

Paso 2.5.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$u_{upper} = 15^{\frac{2}{2}} + 1$

Paso 2.5.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.1.4.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 15^{\frac{2}{2}} + 1$

Paso 2.5.1.4.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = 15^{1} + 1$

Paso 2.5.1.5

Evalúa el exponente.

$u_{upper} = 15 + 1$

Paso 2.5.2

Suma $15$ y $1$ .

$u_{upper} = 16$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$6 \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$6 \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Paso 3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$6 \int_{1}^{16} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$6 (\frac{1}{2} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $6$ .

$\frac{6}{2} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 5.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 5.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 5.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 5.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{1} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 5.1.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$3 \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 5.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{1}^{16} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 5.2.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$3 \int_{1}^{16} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 5.2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 5.2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$3 \int_{1}^{16} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 5.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 \int_{1}^{16} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{16})$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $2 u^{\frac{1}{2}}$ en $16$ y en $1$ .

$3 ((2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$3 (2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.3.1

Cancela el factor común.

$3 (2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.2.3.2

Reescribe la expresión.

$3 (2 \cdot 4^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.2.4

Evalúa el exponente.

$3 (2 \cdot 4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.2.5

Multiplica $2$ por $4$ .

$3 (8 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.2.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 (8 - 2 \cdot 1)$

Paso 7.2.7

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$3 (8 - 2)$

Paso 7.2.8

Resta $2$ de $8$ .

$3 \cdot 6$

Paso 7.2.9

Multiplica $3$ por $6$ .

$18$

Paso 8