Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (x) d x$

Paso 1

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 + \sec^{2} (x) d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 d x + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (x) d x$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$- x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (x) d x$

Paso 4

Como la derivada de $\tan (x)$ es $\sec^{2} (x)$ , la integral de $\sec^{2} (x)$ es $\tan (x)$ .

$- x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combina $- x]_{0}^{\frac{π}{4}}$ y $\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}}$ .

$- x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Paso 5.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.2.1

Evalúa $- x + \tan (x)$ en $\frac{π}{4}$ y en $0$ .

$(- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4})) - (- 0 + \tan (0))$

Paso 5.2.2

Simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - (0 + \tan (0))$

Paso 5.2.2.2

Suma $0$ y $\tan (0)$ .

$- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - \tan (0)$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$- \frac{π}{4} + 1 - \tan (0)$

Paso 5.3.2

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$- \frac{π}{4} + 1 - 0$

Paso 5.3.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- \frac{π}{4} + 1 + 0$

Paso 5.3.4

Suma $- \frac{π}{4} + 1$ y $0$ .

$- \frac{π}{4} + 1$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{π}{4} + 1$

Forma decimal:

$0.21460183 \dots$