Cálculo Ejemplos

\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (3 t) d t

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (3 t) d t$

Paso 1

Sea

u = 3 t

$u = 3 t$ . Entonces

d u = 3 d t

$d u = 3 d t$ , de modo que

\frac{1}{3} d u = d t

$\frac{1}{3} d u = d t$ . Reescribe mediante

u

$u$ y

d

$d$

u

$u$ .

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Paso 1.1

Deja

u = 3 t

$u = 3 t$ . Obtén

\frac{d u}{d t}

$\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia

3 t

$3 t$ .

\frac{d}{d t} [3 t]

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Paso 1.1.2

Como

3

$3$ es constante con respecto a

t

$t$ , la derivada de

3 t

$3 t$ con respecto a

t

$t$ es

3 \frac{d}{d t} [t]

$3 \frac{d}{d t} [t]$ .

3 \frac{d}{d t} [t]

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d t} [t^{n}]

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es

n t^{n - 1}

$n t^{n - 1}$ donde

n = 1

$n = 1$ .

3 \cdot 1

$3 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica

3

$3$ por

1

$1$ .

3

$3$

3

$3$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por

t

$t$ en

u = 3 t

$u = 3 t$ .

u_{lower} = 3 \cdot 0

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Paso 1.3

Multiplica

3

$3$ por

0

$0$ .

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por

t

$t$ en

u = 3 t

$u = 3 t$ .

u_{upper} = 3 \frac{π}{3}

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de

3

$3$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

u_{upper} = 3 \frac{π}{3}

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

u_{upper} = π

$u_{upper} = π$

u_{upper} = π

$u_{upper} = π$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para

u_{lower}

$u_{lower}$ y

u_{upper}

$u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{upper} = π

$u_{upper} = π$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante

u

$u$ ,

d u

$d u$ y los nuevos límites de integración.

\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{3} d u

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{3} d u

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Paso 2

Combina

\sin (u)

$\sin (u)$ y

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{3} d u

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{3} d u$

Paso 3

Dado que

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ es constante con respecto a

u

$u$ , mueve

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (u) d u

$\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Paso 4

La integral de

\sin (u)

$\sin (u)$ con respecto a

u

$u$ es

- \cos (u)

$- \cos (u)$ .

\frac{1}{3} - \cos (u)]_{0}^{π}

$\frac{1}{3} - \cos (u)]_{0}^{π}$

Paso 5

Evalúa

- \cos (u)

$- \cos (u)$ en

π

$π$ y en

0

$0$ .

\frac{1}{3} (- \cos (π) + \cos (0))

$\frac{1}{3} (- \cos (π) + \cos (0))$

Paso 6

El valor exacto de

\cos (0)

$\cos (0)$ es

1

$1$ .

\frac{1}{3} (- \cos (π) + 1)

$\frac{1}{3} (- \cos (π) + 1)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

\frac{1}{3} (- - \cos (0) + 1)

$\frac{1}{3} (- - \cos (0) + 1)$

Paso 7.2

El valor exacto de

\cos (0)

$\cos (0)$ es

1

$1$ .

\frac{1}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)

$\frac{1}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Paso 7.3

Multiplica

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

\frac{1}{3} (- - 1 + 1)

$\frac{1}{3} (- - 1 + 1)$

Paso 7.4

Multiplica

- 1

$- 1$ por

- 1

$- 1$ .

\frac{1}{3} (1 + 1)

$\frac{1}{3} (1 + 1)$

Paso 7.5

Suma

1

$1$ y

1

$1$ .

\frac{1}{3} \cdot 2

$\frac{1}{3} \cdot 2$

Paso 7.6

Combina

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ y

2

$2$ .

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$

Forma decimal:

0.\overline{6}

$0.\overline{6}$