Cálculo Ejemplos

$\int x {(3 x + 8)}^{11} d x$

Paso 1

Sea $u = 3 x + 8$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 3 x + 8$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $3 x + 8$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 8]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int (\frac{u}{3} - \frac{8}{3}) u^{11} \frac{1}{3} d u$

Paso 2

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{11}$ .

$\int (\frac{u}{3} - \frac{8}{3}) \frac{u^{11}}{3} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{u}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{u}{3}$ por $\frac{u^{11}}{3}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Paso 3.3

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{u^{1 + 11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Paso 3.5

Suma $1$ y $11$ .

$\int \frac{u^{12}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Paso 3.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Paso 3.7

Combina $- \frac{8}{3}$ y $\frac{u^{11}}{3}$ .

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8 u^{11}}{3 \cdot 3} d u$

Paso 3.8

Multiplica $3$ por $3$ .

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{u^{12}}{9} d u + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{9}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{9} \int u^{12} d u + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{12}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{13} u^{13}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - \int \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Paso 8

Dado que $\frac{8}{9}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{8}{9}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - (\frac{8}{9} \int u^{11} d u)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{11}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - \frac{8}{9} (\frac{1}{12} u^{12} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{13} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{1}{13}$ .

$\frac{1}{9 \cdot 13} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

Paso 10.2.2

Multiplica $9$ por $13$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

Paso 10.2.3

Multiplica $\frac{1}{12}$ por $\frac{8}{9}$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{12 \cdot 9} u^{12} + C$

Paso 10.2.4

Multiplica $12$ por $9$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{108} u^{12} + C$

Paso 10.2.5

Cancela el factor común de $8$ y $108$ .

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Paso 10.2.5.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 (2)}{108} u^{12} + C$

Paso 10.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.5.2.1

Factoriza $4$ de $108$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 27} u^{12} + C$

Paso 10.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 27} u^{12} + C$

Paso 10.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{2}{27} u^{12} + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x + 8$ .

$\frac{1}{117} {(3 x + 8)}^{13} - \frac{2}{27} {(3 x + 8)}^{12} + C$