Cálculo Ejemplos

$\int t \ln (t + 1) d t$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (t + 1)$ y $d v = t$ .

$\ln (t + 1) (\frac{1}{2} t^{2}) - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t + 1} d t$

Paso 2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{2}$ .

$\ln (t + 1) \frac{t^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t + 1} d t$

Paso 2.2

Combina $\ln (t + 1)$ y $\frac{t^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t + 1} d t$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int t^{2} \frac{1}{t + 1} d t)$

Paso 4

Combina $t^{2}$ y $\frac{1}{t + 1}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{t^{2}}{t + 1} d t$

Paso 5

Divide $t^{2}$ por $t + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$t$

$1$

$t^{2}$

$0 t$

$0$

Paso 5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $t^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $t$ .

					$t$
	$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$

Paso 5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$t$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			+	$t^{2}$	+	$t$

Paso 5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $t^{2} + t$ .

				$t$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$

Paso 5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$t$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$

Paso 5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$t$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$	+	$0$

Paso 5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- t$ por el término de mayor orden en el divisor $t$ .

				$t$	-	$1$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$	+	$0$

Paso 5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$t$	-	$1$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$	+	$0$
					-	$t$	-	$1$

Paso 5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- t - 1$ .

				$t$	-	$1$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$	+	$0$
					+	$t$	+	$1$

Paso 5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$t$	-	$1$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$	+	$0$
					+	$t$	+	$1$
							+	$1$

Paso 5.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int t - 1 + \frac{1}{t + 1} d t$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int t d t + \int - 1 d t + \int \frac{1}{t + 1} d t)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C + \int - 1 d t + \int \frac{1}{t + 1} d t)$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C - t + C + \int \frac{1}{t + 1} d t)$

Paso 9

Sea $u = t + 1$ . Entonces $d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Deja $u = t + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Diferencia $t + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

Paso 9.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 9.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 9.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C - t + C + \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C - t + C + \ln (| u |) + C)$

Paso 11

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (t + 1) t^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) + C$

Paso 11.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (t + 1)$ .

$\frac{\ln (t + 1)}{2} t^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) + C$

Paso 11.2.2

Combina $\frac{\ln (t + 1)}{2}$ y $t^{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) + C$

Paso 11.2.3

Para escribir $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) \cdot \frac{2}{2} + C$

Paso 11.2.4

Combina $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |))$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Paso 11.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Paso 11.2.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - \frac{1}{2} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Paso 11.2.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - 2 (\frac{1}{2}) (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

Paso 11.2.8

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + \frac{- 2}{2} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

Paso 11.2.9

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.9.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

Paso 11.2.9.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.9.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

Paso 11.2.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

Paso 11.2.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + \frac{- 1}{1} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

Paso 11.2.9.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t + 1$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| t + 1 |))}{2} + C$

Paso 13

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Para escribir $\ln (| t + 1 |)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (- t + \frac{t^{2}}{2} + \ln (| t + 1 |) \cdot \frac{2}{2})}{2} + C$

Paso 13.2

Combina $\ln (| t + 1 |)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (- t + \frac{t^{2}}{2} + \frac{\ln (| t + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

Paso 13.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (- t + \frac{t^{2} + \ln (| t + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

Paso 13.4

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (| t + 1 |)$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (- t + \frac{t^{2} + 2 \ln (| t + 1 |)}{2})}{2} + C$

Paso 13.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - - t - \frac{t^{2} + 2 \ln (| t + 1 |)}{2}}{2} + C$

Paso 13.6

Multiplica $- - t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + 1 t - \frac{t^{2} + 2 \ln (| t + 1 |)}{2}}{2} + C$

Paso 13.6.2

Multiplica $t$ por $1$ .

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + t - \frac{t^{2} + 2 \ln (| t + 1 |)}{2}}{2} + C$

Paso 14

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} (\ln (t + 1) t^{2} + t - \frac{1}{2} (t^{2} + 2 \ln (| t + 1 |))) + C$