Cálculo Ejemplos

$16 p \int_{0}^{5} {(1 - \frac{x}{5})}^{2} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 - \frac{x}{5}$ . Entonces $d u = - \frac{1}{5} d x$ , de modo que $- 5 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 - \frac{x}{5}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 - \frac{x}{5}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{5}]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \frac{x}{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- \frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x}{5}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{5} \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - \frac{1}{5}$

Paso 1.1.4

Resta $\frac{1}{5}$ de $0$ .

$- \frac{1}{5}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 - \frac{x}{5}$ .

$u_{lower} = 1 - \frac{0}{5}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Divide $0$ por $5$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 - \frac{x}{5}$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{5}{5}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.5.1.1.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 1 - \frac{5}{5}$

Paso 1.5.1.1.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Paso 1.5.2

Resta $1$ de $1$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$16 p \int_{1}^{0} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{1}{5}} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$16 p \int_{1}^{0} - u^{2} \frac{1}{\frac{1}{5}} d u$

Paso 2.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{5}$ .

$16 p \int_{1}^{0} - u^{2} (1 \cdot 5) d u$

Paso 2.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$16 p \int_{1}^{0} - u^{2} \cdot 5 d u$

Paso 2.4

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$16 p \int_{1}^{0} - 5 u^{2} d u$

Paso 3

Dado que $- 5$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 5$ fuera de la integral.

$16 p (- 5 \int_{1}^{0} u^{2} d u)$

Paso 4

Multiplica $- 5$ por $16$ .

$- 80 p \int_{1}^{0} u^{2} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- 80 p \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

Paso 6

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$- 80 p \frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\frac{u^{3}}{3}$ en $0$ y en $1$ .

$- 80 p ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 80 p (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 7.2.2.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$- 80 p (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- 80 p (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$- 80 p (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- 80 p (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- 80 p (0 - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 80 p (0 - \frac{1}{3})$

Paso 7.2.4

Resta $\frac{1}{3}$ de $0$ .

$- 80 p (- \frac{1}{3})$

Paso 7.2.5

Multiplica $- 1$ por $- 80$ .

$80 p \frac{1}{3}$

Paso 7.2.6

Combina $80$ y $\frac{1}{3}$ .

$p \frac{80}{3}$

Paso 7.2.7

Combina $p$ y $\frac{80}{3}$ .

$\frac{p \cdot 80}{3}$

Paso 7.2.8

Mueve $80$ a la izquierda de $p$ .

$\frac{80 p}{3}$

Paso 8

Reordena los términos.

$\frac{80}{3} p$

Paso 9

Combina $\frac{80}{3}$ y $p$ .

$\frac{80 p}{3}$

Paso 10