Cálculo Ejemplos

$\int z \sqrt{4 z^{2} - 5} d z$

Paso 1

Sea $u = 4 z^{2} - 5$ . Entonces $d u = 8 z d z$ , de modo que $\frac{1}{8} d u = z d z$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 4 z^{2} - 5$ . Obtén $\frac{d u}{d z}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $4 z^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d z} [4 z^{2} - 5]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 z^{2} - 5$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [4 z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 5]$ .

$\frac{d}{d z} [4 z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 5]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d z} [4 z^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $4 z^{2}$ con respecto a $z$ es $4 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 5]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (2 z) + \frac{d}{d z} [- 5]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 z + \frac{d}{d z} [- 5]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $z$ es $0$ .

$8 z + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $8 z$ y $0$ .

$8 z$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

Paso 2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{8} \int \sqrt{u} d u$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe $\frac{1}{8} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{8 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6.2.2

Multiplica $8$ por $3$ .

$\frac{2}{24} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $24$ .

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Paso 6.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{24} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $24$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 z^{2} - 5$ .

$\frac{1}{12} {(4 z^{2} - 5)}^{\frac{3}{2}} + C$