Cálculo Ejemplos

$\int x \arcsin (x^{2}) d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = x^{2}$ . Entonces $d u_{1} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = x^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \arcsin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2

Combina $\arcsin (u_{1})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\arcsin (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \arcsin (u_{1}) d u_{1}$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = \arcsin (u_{1})$ y $dv = 1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int u_{1} \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} d u_{1})$

Paso 5

Combina $u_{1}$ y $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int \frac{u_{1}}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} d u_{1})$

Paso 6

Sea $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ . Entonces $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $1 - {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 - {u_{1}}^{2}]$

Paso 6.1.2

Diferencia.

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Paso 6.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - {u_{1}}^{2}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Paso 6.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $1$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Paso 6.1.3

Evalúa $\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$ .

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Paso 6.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $- {u_{1}}^{2}$ con respecto a $u_{1}$ es $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Paso 6.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 u_{1})$

Paso 6.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 u_{1}$

Paso 6.1.4

Resta $2 u_{1}$ de $0$ .

$- 2 u_{1}$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} (- \frac{1}{2}) d u_{2})$

Paso 7.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u_{2}}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int - \frac{1}{\sqrt{u_{2}} \cdot 2} d u_{2})$

Paso 7.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int - \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - - \int \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + 1 \int \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Paso 9.2

Multiplica $\int \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \int \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Paso 11

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 11.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{2}}$ como ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2})$

Paso 11.2

Mueve ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2})$

Paso 11.3

Multiplica los exponentes en ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 11.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2})$

Paso 11.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2})$

Paso 11.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2})$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C))$

Paso 13

Reescribe $\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C))$ como $\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + {u_{2}}^{\frac{1}{2}}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + {u_{2}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 14.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 14.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 - {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - {u_{1}}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 14.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - {(x^{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 15.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - x^{2 \cdot 2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 15.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 15.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2}) + \frac{1}{2} {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 15.3

Multiplica $\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2})$ .

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Paso 15.3.1

Combina $\arcsin (x^{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x^{2})}{2} x^{2} + \frac{1}{2} {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 15.3.2

Combina $\frac{\arcsin (x^{2})}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 15.4

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\arcsin (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{{(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Paso 15.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Paso 15.6

Reordena los factores en $\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2} \arcsin (x^{2}) + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Paso 16

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} (x^{2} \arcsin (x^{2}) + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}) + C$