Cálculo Ejemplos

$\int x \sin (5 x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \sin (5 x)$ .

$x (- \frac{1}{5} \cos (5 x)) - \int - \frac{1}{5} \cos (5 x) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\cos (5 x)$ y $\frac{1}{5}$ .

$x (- \frac{\cos (5 x)}{5}) - \int - \frac{1}{5} \cos (5 x) d x$

Paso 2.2

Combina $x$ y $\frac{\cos (5 x)}{5}$ .

$- \frac{x \cos (5 x)}{5} - \int - \frac{1}{5} \cos (5 x) d x$

Paso 3

Dado que $- \frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- \frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$- \frac{x \cos (5 x)}{5} - (- \frac{1}{5} \int \cos (5 x) d x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x \cos (5 x)}{5} + 1 (\frac{1}{5} \int \cos (5 x) d x)$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$- \frac{x \cos (5 x)}{5} + \frac{1}{5} \int \cos (5 x) d x$

Paso 5

Sea $u = 5 x$ . Entonces $d u = 5 d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 5 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 5.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$5$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \frac{x \cos (5 x)}{5} + \frac{1}{5} \int \cos (u) \frac{1}{5} d u$

Paso 6

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{x \cos (5 x)}{5} + \frac{1}{5} \int \frac{\cos (u)}{5} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$- \frac{x \cos (5 x)}{5} + \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int \cos (u) d u)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{x \cos (5 x)}{5} + \frac{1}{5 \cdot 5} \int \cos (u) d u$

Paso 8.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$- \frac{x \cos (5 x)}{5} + \frac{1}{25} \int \cos (u) d u$

Paso 9

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (5 x)}{5} + \frac{1}{25} (\sin (u) + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Reescribe $- \frac{x \cos (5 x)}{5} + \frac{1}{25} (\sin (u) + C)$ como $- \frac{1}{5} x \cos (5 x) + \frac{1}{25} \sin (u) + C$ .

$- \frac{1}{5} x \cos (5 x) + \frac{1}{25} \sin (u) + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{x}{5} \cos (5 x) + \frac{1}{25} \sin (u) + C$

Paso 10.2.2

Combina $\cos (5 x)$ y $\frac{x}{5}$ .

$- \frac{\cos (5 x) x}{5} + \frac{1}{25} \sin (u) + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$- \frac{\cos (5 x) x}{5} + \frac{1}{25} \sin (5 x) + C$

Paso 12

Reordena los factores en $\frac{\cos (5 x) x}{5}$ .

$- \frac{1}{5} x \cos (5 x) + \frac{1}{25} \sin (5 x) + C$